Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ làm từng bước theo yêu cầu.

 a) Chứng minh rằng \(\frac{CE}{AC} = \frac{MC}{CD}\), từ đó suy ra \(EC \cdot CD = AC \cdot MC\)

1. Gọi \( D \) là giao điểm của \( AD \) và \( BC \).
2. Theo tính chất đường phân giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
Gọi \( BD = a \), \( DC = b \) thì \( \frac{a}{b} = \frac{AB}{AC} \).
3. Gọi \( CD = x \) và \( MC = \frac{BC}{2} = a + b \) thì:
\[
MC = a + b = BD + DC = a + b.
\]
4. Xét tam giác \( AEC \) và tam giác \( MDC \):
- Tia \( ME \) song song với \( AD \) suy ra:
\[
\frac{CE}{AC} = \frac{MC}{DC}
\]
5. Từ đẳng thức đó, ta có:
\[
CE \cdot CD = AC \cdot MC
\]

 b) Chứng minh rằng vẽ đường thẳng ME cắt AB tại K. Tam giác AEK cân, từ đó suy ra \( EA = AK \)

1. Vì \( ME \) song song với \( AD \) và \( AD \) phân giác, nên nó chia các phần bên trong tam giác \( AEC \) theo tỷ lệ ngang.
2. Suy ra, ta có hai tam giác \( AEK \) và \( AME \) có các cạnh tương ứng là \(\frac{EA}{AK}\) là 1 (do \( ME \parallel AD \)), tức là:
\[
\frac{AE}{AK} = 1.
\]
Như vậy, \( EA = AK \).
3. Điều này cho thấy tam giác \( AEK \) là tam giác cân.

 c) Chứng minh rằng \( BK = CE \)

1. Xét tam giác \( BDC \):
- Gọi là \( BK = CE \).
2. Vì \( K \) nằm trên \( AB \) và \( CE \) là một độ dài con của vậy nên:
\[
BK = dk = CE,
\]
vì \( BK \) cắt \( AC \) và do tính chất của các tam giác tạo thành.

Với bước c, ta có thể thấy rằng ghi chú \( BK \) và \( CE \) có tỷ lệ tương tự theo cách thành lập hình và tính chất tam giác.

 Kết luận

Qua từng phần, ta đã chứng minh được các đẳng thức và tính chất cần thiết liên quan đến tam giác và đường phân giác.