Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu với phần a, bằng cách sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản và định lý Pythagore.

 a) Tính AH và HB

Bước 1: Tính độ dài AB

Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \), theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Thay các giá trị cho vào:
\[
AB^2 + 12^2 = 13^2
\]
\[
AB^2 + 144 = 169
\]
\[
AB^2 = 169 - 144 = 25
\]
\[
AB = 5
\]

Bước 2: Tính AH

Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \), độ dài của đường cao \( AH \) được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Thay các giá trị vào:
\[
AH = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}
\]

Bước 3: Tính HB

Để tính độ dài \( HB \), chúng ta cần sử dụng công thức độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông:
\[
HB = \frac{AC^2}{BC}
\]
Thay vào:
\[
HB = \frac{12^2}{13} = \frac{144}{13}
\]

 Kết quả phần a:
- \( AH = \frac{60}{13} \)
- \( HB = \frac{144}{13} \)

---

b) Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \)

Để chứng minh hai tam giác \( \triangle ABC \) và \( \triangle HBA \) là tương đồng, ta cần sử dụng tính chất các góc và tỷ lệ cạnh.

Bước 1: So sánh các góc

1. Góc \( A \): \( \angle A \) là góc vuông trong \( \triangle ABC \). Trong tam giác \( HBA \), góc \( HBA \) cũng là góc vuông, vì \( H \) là điểm trên đường cao.
2. Góc \( B \): Cả hai tam giác đều có góc \( B \).
3. Góc \( C \) và \( \angle AHB \): Ta có,
\[
\angle AHB = 90° \implies \angle C = \angle HBA
\]

Bước 2: Sử dụng tiêu đề góc, cạnh tương ứng

Vì cả hai tam giác đều có một góc vuông và một góc chung (góc B), theo định lý góc-góc (AA), ta có thể khẳng định rằng:
\[
\triangle ABC \sim \triangle HBA
\]

 Kết luận phần b:
Đã chứng minh rằng \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \) bằng cách sử dụng các yếu tố góc trong tam giác và tính chất tương đồng của các tam giác.