Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Dưới đây là chứng minh của hai tính chất quan trọng của tổ hợp:

Tính chất 1:
$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

Chứng minh:

Theo định nghĩa của tổ hợp:

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

Thay n−k vào vị trí của k:

$C_{n}^{n - k} = \frac{n!}{(n - k)! (n - (n - k))!} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$

Ta thấy:
$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

Điều phải chứng minh.

Tính chất 2:

$C_{n}^{k} + C_{n}^{k - 1} = C_{n + 1}^{k}$

Chứng minh:

Theo định nghĩa của tổ hợp:

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, C_{n}^{k - 1} = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!}$

Cộng hai vế lại:

$C_{n}^{k} + C_{n}^{k - 1} = \frac{n!}{k! (n - k)!} + \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!}$

Quy đồng mẫu số:

$= \frac{n! (n - k + 1) + n! k}{k! (n - k + 1)!}$

Rút gọn:

$= \frac{n! (n - k + 1 + k)}{k! (n - k + 1)!} = \frac{(n + 1)!}{k! (n + 1 - k)!} = C_{n + 1}^{k}$

Điều phải chứng minh.

...Xem thêm

Answer 2

Dưới đây là chứng minh của hai tính chất quan trọng của tổ hợp:

Tính chất 1:
$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

Chứng minh:

Theo định nghĩa của tổ hợp:

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

Thay n−k vào vị trí của k:

$C_{n}^{n - k} = \frac{n!}{(n - k)! (n - (n - k))!} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$

Ta thấy:
$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

Điều phải chứng minh.

Tính chất 2:

$C_{n}^{k} + C_{n}^{k - 1} = C_{n + 1}^{k}$

Chứng minh:

Theo định nghĩa của tổ hợp:

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, C_{n}^{k - 1} = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!}$

Cộng hai vế lại:

$C_{n}^{k} + C_{n}^{k - 1} = \frac{n!}{k! (n - k)!} + \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!}$

Quy đồng mẫu số:

$= \frac{n! (n - k + 1) + n! k}{k! (n - k + 1)!}$

Rút gọn:

$= \frac{n! (n - k + 1 + k)}{k! (n - k + 1)!} = \frac{(n + 1)!}{k! (n + 1 - k)!} = C_{n + 1}^{k}$

Điều phải chứng minh.