Chúng ta sẽ thực hiện từng câu một từ biểu thức đã cho:

\[
p = \frac{\left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} \right)}{x + 1} \cdot \frac{1}{x^2 - 4}
\]

Câu A: Tìm điều kiện xác định của \(p\)

Để tìm điều kiện xác định của \(p\), ta cần đảm bảo rằng tất cả các mẫu số trong biểu thức không được bằng 0.

1. Mẫu số của các phân số:
- \(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\)
- \(x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\)

2. Mẫu số của phân số lớn nhất:
- \(x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\)

3. Mẫu số của phân số cuối:
- \(x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \text{ và } x \neq -2\)

Tóm lại, điều kiện xác định của \(p\) là:

\[
x \neq -2, \; x \neq 2, \; x \neq -1
\]

 Câu B: Rút gọn biểu thức \(p\)

Trước hết, rút gọn biểu thức bên trong phân số:

\[
\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} = \frac{(x - 2) + (x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{2x}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{2x}{x^2 - 4}
\]

Thay vào biểu thức \(p\):

\[
p = \frac{\frac{2x}{x^2 - 4}}{x + 1} \cdot \frac{1}{x^2 - 4}
\]

Khi đó, \(p\) trở thành:

\[
p = \frac{2x}{(x^2 - 4)(x + 1)(x^2 - 4)} = \frac{2x}{(x^2 - 4)^2 (x + 1)}
\]

 Câu C: Với giá trị nguyên nào của \(x\) thì \(p\) có giá trị là số nguyên

Để \(p\) là số nguyên, mẫu số không được bằng 0, và tử số phải chia hết cho mẫu số.

1. Tử số là \(2x\).
2. Mẫu số là \((x^2 - 4)^2 (x + 1)\) với \(x^2 - 4\) có thể viết lại là \((x - 2)(x + 2)\).

Các giá trị nguyên của \(x\) có thể thử nghiệm:

- \(x = -3\):
- Tử là \(2(-3) = -6\)
- Mẫu là \((-3^2 - 4)^2 \cdot (-3 + 1) = (9 - 4)^2 \cdot (-2) = 5^2 \cdot (-2) = 25 \cdot (-2) = -50\)

- \(x = 0\):
- Tử là \(2(0) = 0\)
- Mẫu là \((0^2 - 4)^2 \cdot (0 + 1) = (-4)^2 \cdot 1 = 16\)

- \(x = 1\):
- Tử là \(2(1) = 2\)
- Mẫu là \((1^2 - 4)^2 \cdot (1 + 1) = (-3)^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18\)
- \(p = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\) (không phải số nguyên)

- \(x = 2\): Không hợp lệ.

- \(x = 3\):
- Tử là \(2(3) = 6\)
- Mẫu là \((3^2 - 4)^2 \cdot (3 + 1) = (9 - 4)^2 \cdot 4 = 5^2 \cdot 4 = 25 \cdot 4 = 100\)
- \(p = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}\) (không phải số nguyên)

- \(x = 4\):
- Tử là \(2(4) = 8\)
- Mẫu là \((4^2 - 4)^2 \cdot (4 + 1) = (16 - 4)^2 \cdot 5 = 12^2 \cdot 5 = 144 \cdot 5 = 720\)
- \(p = \frac{8}{720} = \frac{1}{90}\) (không phải số nguyên)

- \(x = -4\):
- Tử là \(2(-4) = -8\)
- Mẫu là \((-4^2 - 4)^2 \cdot (-4 + 1) = (16 - 4)^2 \cdot (-3) = (12)^2 \cdot (-3) = 144 \cdot (-3) = -432\)
- \(p = \frac{-8}{-432} = \frac{1}{54}\) (không phải số nguyên)

Dựa trên những phép thử đơn giản với các giá trị nguyên, nếu bạn muốn tìm giá trị chính xác cho \(x\) sao cho \(p\) là số nguyên, hãy chạy các thử nghiệm với nhiều giá trị nguyên khác, hoặc bạn có thể tìm hiểu thêm về các giá trị \(x\) sao cho \(2x\) chia hết cho \((x^2 - 4)^2(x + 1)\).

Các giá trị từ \(-5\) đến \(5\) có thể thử thêm để tìm ra các số nguyên nào cho \(p\) là số nguyên.