Để chứng minh các kết luận đề bài đặt ra, chúng ta sẽ đi từng phần một.

 a) Chứng minh EF // BC

Các bước chứng minh:

1. Vẽ hình:
- Vẽ tam giác nhọn $\Delta ABC$ với $AB < AC$.
- Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.
- Vẽ đường trung tuyến $AM$.
- Lấy điểm $O$ trên $AM$ và vẽ các tia $BO$ và $CO$ cắt $AB$ tại $E$ và cắt $AC$ tại $F$.

2. Sử dụng tỉ lệ:
- Ta có $AM$ là đường trung tuyến, do đó theo định nghĩa, $BM = MC$.
- Xét tam giác $ABO$ và $ACO$:
- Theo định lý tỉ lệ, nếu $O$ là điểm trên $AM$, nên:
$\frac{AE}{EB} = \frac{AO}{OM}$
và
$\frac{AF}{FC} = \frac{AO}{OM}$

3. Từ đó suy ra EF // BC:
- Vì $\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC}$, theo định lý về hai đoạn thẳng song song, ta có $EF \parallel BC$.

 b) Chứng minh N là trung điểm của EF

Các bước chứng minh:

1. Xét tam giác nhỏ:
- Tiếp tục với hình đã vẽ, với $N$ là giao điểm của $EF$ và $AM$.
- Chúng ta cần chỉ ra rằng $AN = NE$ và $NF = NC$.

2. Sử dụng tỉ lệ:
- Đầu tiên, từ EF // BC, theo định lý tỉ lệ, ta có:
$\frac{AN}{NM} = \frac{AB}{BM} = \frac{AC}{CM}$

3. Vì M là trung điểm của BC:
- Ta biết rằng $BM = MC$, nên $\frac{AB}{BM} = \frac{AC}{MC}$.
- Từ đó ta có
$\frac{AN}{NE} = \frac{AB}{BM} \quad \text{và} \quad \frac{NF}{NC} = \frac{AC}{MC}$

4. Kết luận:
- Vì $EF$ giao với $AM$ tại $N$, và theo tỉ lệ này, $N$ phải là середина của $EF$.
$AN = NE \quad \text{và} \quad NF = NC$
- Do đó, $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$.

 Kết luận:
- Theo những lập luận trên, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu:
- $EF$ song song với $BC$.
- $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$.