Để chứng minh các kết luận đề bài đặt ra, chúng ta sẽ đi từng phần một.

 a) Chứng minh EF // BC

Các bước chứng minh:

1. Vẽ hình:
- Vẽ tam giác nhọn \(\Delta ABC\) với \(AB < AC\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\).
- Vẽ đường trung tuyến \(AM\).
- Lấy điểm \(O\) trên \(AM\) và vẽ các tia \(BO\) và \(CO\) cắt \(AB\) tại \(E\) và cắt \(AC\) tại \(F\).

2. Sử dụng tỉ lệ:
- Ta có \(AM\) là đường trung tuyến, do đó theo định nghĩa, \(BM = MC\).
- Xét tam giác \(ABO\) và \(ACO\):
- Theo định lý tỉ lệ, nếu \(O\) là điểm trên \(AM\), nên:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AO}{OM}
\]
và
\[
\frac{AF}{FC} = \frac{AO}{OM}
\]

3. Từ đó suy ra EF // BC:
- Vì \( \frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC} \), theo định lý về hai đoạn thẳng song song, ta có \(EF \parallel BC\).

 b) Chứng minh N là trung điểm của EF

Các bước chứng minh:

1. Xét tam giác nhỏ:
- Tiếp tục với hình đã vẽ, với \(N\) là giao điểm của \(EF\) và \(AM\).
- Chúng ta cần chỉ ra rằng \(AN = NE\) và \(NF = NC\).

2. Sử dụng tỉ lệ:
- Đầu tiên, từ EF // BC, theo định lý tỉ lệ, ta có:
\[
\frac{AN}{NM} = \frac{AB}{BM} = \frac{AC}{CM}
\]

3. Vì M là trung điểm của BC:
- Ta biết rằng \(BM = MC\), nên \( \frac{AB}{BM} = \frac{AC}{MC} \).
- Từ đó ta có
\[
\frac{AN}{NE} = \frac{AB}{BM} \quad \text{và} \quad \frac{NF}{NC} = \frac{AC}{MC}
\]

4. Kết luận:
- Vì \(EF\) giao với \(AM\) tại \(N\), và theo tỉ lệ này, \(N\) phải là середина của \(EF\).
\[
AN = NE \quad \text{và} \quad NF = NC
\]
- Do đó, \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\).

 Kết luận:
- Theo những lập luận trên, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu:
- \(EF\) song song với \(BC\).
- \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\).