Dưới đây là các lời giải cho từng câu hỏi bạn đã đưa ra:

 Câu 1: Tính vận tốc tức thời tại $x = 9$ giây

Vận tốc tức thời được tính bằng đạo hàm của hàm quãng đường $x(r)$. Ta có:

$x(r) = -\frac{1}{3} r^3 + 16r^2$

Tính đạo hàm:

$x'(r) = \frac{d}{dr} \left( -\frac{1}{3} r^3 + 16r^2 \right) = -r^2 + 32r$

Bây giờ tính vận tốc tại $r = 9$:

$x'(9) = -(9^2) + 32 \cdot 9 = -81 + 288 = 207 \, \text{m/s}$

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $x = 9$ giây là $207 \, \text{m/s}$.

---

 Câu 2: Tính đạo hàm của $y = (x - 1)(2x + 1)$

Sử dụng quy tắc nhân để tính đạo hàm:

$y = (x - 1)(2x + 1)$

Áp dụng quy tắc đạo hàm:

$y' = (x - 1)'(2x + 1) + (x - 1)(2x + 1)' = 1 \cdot (2x + 1) + (x - 1) \cdot 2 = 2x + 1 + 2x - 2 = 4x - 1$

So với dạng $y' = ax + b$, ta có $a = 4$ và $b = -1$.

Vậy $a + b = 4 - 1 = 3$.

---

 Câu 3: Tính dân số thế giới vào năm 2040

Sử dụng công thức tăng dân số:

$P(t) = 7.8 \cdot (1 + 0.0106)^t$

Với $t = 20$ (từ năm 2020 đến 2040):

$P(20) = 7.8 \cdot (1.0106)^{20}$

Tính $(1.0106)^{20}$:

$(1.0106)^{20} \approx 1.2321$

Sau đó tính:

$P(20) \approx 7.8 \cdot 1.2321 \approx 9.617 \, \text{tỷ người}$

Dân số thế giới vào năm 2040 khoảng $9.62 \, \text{tỷ người}$.

---

 Câu 4: Nghiệm của phương trình $2^x = \sqrt{32}$

Đầu tiên, nhận thức rằng:

$\sqrt{32} = 32^{1/2} = (2^5)^{1/2} = 2^{5/2}$

Do đó, ta có phương trình:

$2^x = 2^{5/2}$

Suy ra:

$x = \frac{5}{2}$

Nghiệm của phương trình là $x = \frac{5}{2}$.

---

 Câu 5: Tính tích các nghiệm của phương trình $y' = 0$

Tính đạo hàm của hàm số:

$y = x^3 - x^2 - 3x + 2$

Tính đạo hàm:

$y' = 3x^2 - 2x - 3$

Giải phương trình:

$3x^2 - 2x - 3 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 4 + 36 = 40$

Nghiệm:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$

Tích các nghiệm:

$\text{Tích} = \frac{1 + \sqrt{10}}{3} \cdot \frac{1 - \sqrt{10}}{3} = \frac{(1 - 10)}{9} = \frac{-9}{9} = -1$

Tích các nghiệm của phương trình $y' = 0$ là $-1$.

---

 Câu 6: Tính phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm $M(-1; -4)$

Đầu tiên, tính đạo hàm của hàm số:

$y = x^3 - 3x^2$

$y' = 3x^2 - 6x$

Giá trị đạo hàm tại $x = -1$:

$y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M$ có dạng:

$y - y_0 = m(x - x_0)$

Với $m = 9$, $(x_0, y_0) = (-1, -4)$:

$y + 4 = 9(x + 1) \implies y = 9x + 9 - 4 = 9x + 5$

Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là $9$.