Để tính góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $BD$ trong hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tất cả các mặt đều là hình vuông, ta cần xác định tọa độ của các điểm trong không gian.

Giả sử hình hộp có các tọa độ như sau:

- $A(0, 0, 0)$
- $B(1, 0, 0)$
- $C(1, 1, 0)$
- $D(0, 1, 0)$
- $A'(0, 0, 1)$
- $B'(1, 0, 1)$
- $C'(1, 1, 1)$
- $D'(0, 1, 1)$

Từ đó, ta có các điểm sau:

- $B(1, 0, 0)$
- $C(1, 1, 0)$
- $D(0, 1, 0)$

Tính vectơ của các đường thẳng:

1. Vectơ $\overrightarrow{BC}$:

$\overrightarrow{BC} = C - B = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0)$

2. Vectơ $\overrightarrow{BD}$:

$\overrightarrow{BD} = D - B = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)$

Tính góc giữa hai vectơ:

Góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ được tính bằng công thức:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Ở đây, $\vec{u} = \overrightarrow{BC} = (0, 1, 0)$ và $\vec{v} = \overrightarrow{BD} = (-1, 1, 0)$.

Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (0)(-1) + (1)(1) + (0)(0) = 0 + 1 + 0 = 1$

Tính độ dài của hai vectơ:

$|\vec{u}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Tính $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Tính góc $\theta$:

$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 45^\circ$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $BD$ là $45^\circ$.