Chào bạn, hãy cùng phân tích và giải quyết từng phần của bài toán hình học này nhé!

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA ⊥ (ABCD). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

Tam giác SAB:

SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ AB.
Vậy tam giác SAB vuông tại A.
Tam giác SAD:

SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ AD.
Vậy tam giác SAD vuông tại A.
Tam giác SBC:

BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông).
SA ⊥ BC (SA ⊥ (ABCD)).
Suy ra BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB.
Vậy tam giác SBC vuông tại B.
Tam giác SCD:

CD ⊥ AD (ABCD là hình vuông).
SA ⊥ CD (SA ⊥ (ABCD)).
Suy ra CD ⊥ (SAD) => CD ⊥ SD.
Vậy tam giác SCD vuông tại D.
b) Chứng minh AM ⊥ (SBC):

AM ⊥ SB (giả thiết).
BC ⊥ (SAB) (chứng minh trên).
AM ⊂ (SAB) => BC ⊥ AM.
AM ⊥ SB và AM ⊥ BC => AM ⊥ (SBC).
c) Chứng minh (SCD) ⊥ (AMN):

CD ⊥ (SAD) (chứng minh trên).
AN ⊂ (SAD) => CD ⊥ AN.
AN ⊥ SD (giả thiết).
AN ⊥ CD và AN ⊥ SD => AN ⊥ (SCD).
AN ⊂ (AMN) => (AMN) ⊥ (SCD).
Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với AB = BC = a, AD = 4a, và SA = √6 * a.

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB):

Hình thoi ABCD có AB = BC => tam giác ABC cân tại B.
Gọi H là hình chiếu của B lên AD.
AH = HD = 2a (AD = 4a).
BH = √(AB² - AH²) = √(a² - 4a²) = √(-3a²) (vô lý).
Do đó đề bài có vấn đề ở chỗ AD=4a và AB=BC=a. Bạn hãy kiểm tra lại đề bài nhé, nếu có thể hãy cung cấp hình vẽ cho bài toán này

b) Gọi I là điểm trên cạnh AD sao cho AD = 4AI. Chứng minh (SBI) ⊥ (SAC):

AI = a (AD = 4AI).
Do AD = 4a và AB = a, nên I trùng với B.
Vậy (SBI) chính là (SBC).
Ta đã chứng minh BC ⊥ (SAB) ở câu a).
Mà AC ⊂ (SAB) => BC ⊥ AC.
SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC.
BC ⊥ SA và BC ⊥ AC => BC ⊥ (SAC).
Vậy (SBC) ⊥ (SAC).
c) Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD):

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
SO là hình chiếu của SC lên (ABCD).
Góc (SC, (ABCD)) = góc (SC, SO) = góc CSO.
Bạn hãy cung cấp thêm thông tin về hình thoi ABCD để tính được góc CSO nhé.
d) Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC theo a:

Bạn hãy cung cấp thêm thông tin về hình thoi ABCD để tính được khoảng cách này nhé.

Để giải quyết các bài toán hình học không gian liên quan đến hình chóp và các mặt phẳng, ta sẽ lần lượt đi từng câu.

 Câu 5

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB) và (SCD) ⊥ (SAD)

- Ta xét hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA = 2a$.
- Mặt phẳng $(SAB)$ chứa một cạnh đáy (AB), và do $\angle SAB = 90^\circ$, ta có $BC \perp SB$.
- Vì $AB \perp AD$ trong đáy $ABCD$ (hình vuông), ta có $BC \perp (SAB)$.

- Tương tự, $SAD$ cũng có $SA \perp AD$, vậy $GC \perp (SAD)$ bởi $AD \perp CD$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SA$

- Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, thì toạ độ của $M$ là $(\frac{a}{2}, a, 0)$.
- Ta có $S(0, 0, 2a)$ và $A(0, 0, 0)$.
- Đường thẳng $SA$ có phương trình là:
$x = 0, y = 0, z \in [0, 2a]$
- Đường thẳng $BM$ có phương trình (ta tính từ điểm $B(a, 0, 0)$ đến $M$):
$x = a + t(\frac{-a}{2}), y = 0, z = t(0)$
với $t$ là tham số.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SA$ có thể được tính bằng phương pháp hình chiếu hoặc công thức khoảng cách.

c) Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SBM)$

- Ta tính được phương trình mặt phẳng $(SBM)$ thông qua ba điểm $S$, $B$, $M$.
- Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính cho điểm $D$.

 Câu 6

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB)

- Tương tự như câu 5, ta chứng minh rằng mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với các cạnh của đáy $ABCD$.

b) Gọi I là điểm trên cạnh AD sao cho AD = 4AI. Chứng minh (SBI) ⊥ (SAC)

- Chứng minh tương tự cho hai mặt phẳng liên quan đến các cạnh của hình chóp.

c) Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

- Sử dụng vectơ để tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy.

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC theo a

- Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng không song song.

 Câu 7

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp $S.ABCD$ là các tam giác vuông.

- Chứng minh cần thiết cho mỗi tam giác $SAB$, $SBC$, $SCD$, và $SDA$ là tam giác vuông.

b) Chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng SBC

- Tính hình chiếu của điểm để chứng minh.

c) Chứng minh (SCD) vuông góc với mặt phẳng (AMN)

- Sử dụng quy tắc và định nghĩa về vuông góc trong không gian.

---

Nếu cần đi vào chi tiết từng bài toán hoặc có yêu cầu về tính toán cụ thể, hãy cho VietJack biết, và vietjack sẽ hỗ trợ thêm!