Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

**a. Xác định chiều cao của hình chóp và tính chiều cao đó:**

* **Xác định chiều cao:**

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), nên SH là đường cao của tam giác SAB và cũng là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Vậy, SH ⊥ (ABCD).

* **Tính chiều cao SH:**

Vì tam giác SAB đều cạnh a, nên đường cao SH có độ dài là:
$SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy chiều cao của hình chóp S.ABCD là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

**b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD):**

* **Xác định khoảng cách:**

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông, nên I là trung điểm của AC và BD. Do đó, AI = IC và BI = ID.

Ta có: $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (vì O là tâm hình vuông ABCD).
Gọi K là hình chiếu của A lên SI. Khi đó, AK ⊥ SI. Ta cần chứng minh AK là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Ta có: BD ⊥ (SAC) (vì BD ⊥ AC và BD ⊥ SA).
Suy ra BD ⊥ AK.
Do AK ⊥ SI và BD ⊥ AK, nên AK ⊥ (SBD).
Vậy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) là AK.

* **Tính khoảng cách AK:**

Xét tam giác SAI vuông tại A (vì SA ⊥ (ABCD), suy ra SA ⊥ AI).
Ta có:
$SA = a \\ AI = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAI:
$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{2}{a^2} = \frac{3}{a^2}$
Suy ra:
$AK^2 = \frac{a^2}{3} \\ AK = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Vậy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

**Kết luận:**

* Chiều cao của hình chóp S.ABCD là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
* Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.