Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).**

* **Điểm thứ nhất:** Ta nhận thấy rằng không có điểm nào hiển nhiên thuộc cả hai mặt phẳng.

* **Điểm thứ hai:** Do đó, ta cần tìm điểm thứ hai bằng cách kéo dài các đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng này.

2. **Xác định giao tuyến.**

* Giao tuyến sẽ là đường thẳng đi qua hai điểm chung vừa tìm được.

**Phân tích và giải bài toán:**

* **M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC:** Điều này cho thấy MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, MN song song với BC.

* **P thuộc AD sao cho AP = 2DP:** Điều này có nghĩa là P chia đoạn AD theo tỉ lệ AP/AD = 2/3.

**Tìm điểm chung thứ hai:**

* Vì MN // BC, nên MN nằm trong mặt phẳng (MNP) sẽ song song với BC nằm trong mặt phẳng (BCD). Điều này gợi ý rằng giao tuyến của (MNP) và (BCD) sẽ là một đường thẳng song song với BC.

* Xét mặt phẳng (ABD). Trong mặt phẳng này, ta có M là trung điểm của AB và P thuộc AD sao cho AP = 2DP. Gọi E là giao điểm của MP và BD. Ta sẽ tìm mối liên hệ giữa BE và ED.

* Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD và đường thẳng MPE:

$\frac{MA}{MB} \cdot \frac{BE}{ED} \cdot \frac{DP}{PA} = 1$

* Thay các giá trị đã biết vào:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{BE}{ED} \cdot \frac{1}{2} = 1$

* Suy ra: $\frac{BE}{ED} = 2$

* Vậy E là điểm trên BD sao cho BE = 2ED.

* Vì E thuộc BD nên E thuộc mặt phẳng (BCD). Mặt khác, E nằm trên đường thẳng MP, và MP nằm trong mặt phẳng (MNP). Do đó, E là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).

**Kết luận:**

* Gọi giao tuyến của (MNP) và (BCD) là đường thẳng d.
* Ta đã có một điểm thuộc d là E (BE = 2ED).
* Ta biết d song song với BC.

Vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) là đường thẳng đi qua điểm E trên cạnh BD (sao cho BE = 2ED) và song song với đường thẳng BC.