## Giải các phương trình

**a) \(2^{x+1} = 8^{x-2}\)**

\[
2^{x+1} = (2^3)^{x-2}
\]

\[
2^{x+1} = 2^{3(x-2)}
\]

\[
x+1 = 3(x-2)
\]

\[
x+1 = 3x - 6
\]

\[
2x = 7
\]

\[
x = \frac{7}{2}
\]

**b) \(9^{16-x} = 27^{x+4}\)**

\[
(3^2)^{16-x} = (3^3)^{x+4}
\]

\[
3^{2(16-x)} = 3^{3(x+4)}
\]

\[
2(16-x) = 3(x+4)
\]

\[
32 - 2x = 3x + 12
\]

\[
5x = 20
\]

\[
x = 4
\]

**c) \(\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2 - 2x - 3} = 7^{x-1}\)**

\[
(7^{-1})^{x^2 - 2x - 3} = 7^{x-1}
\]

\[
7^{-(x^2 - 2x - 3)} = 7^{x-1}
\]

\[
-(x^2 - 2x - 3) = x-1
\]

\[
-x^2 + 2x + 3 = x - 1
\]

\[
x^2 - x - 4 = 0
\]

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}
\]

**d) \(3^{x^2 - 4x + 5} = 9\)**

\[
3^{x^2 - 4x + 5} = 3^2
\]

\[
x^2 - 4x + 5 = 2
\]

\[
x^2 - 4x + 3 = 0
\]

\[
(x-1)(x-3) = 0
\]

\[
x = 1 \text{ hoặc } x = 3
\]

**e) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3 - 2x^2} = 2^{x^2 + 2.4}\)**

\[
(2^{-1})^{3 - 2x^2} = 2^{x^2 + 2.4}
\]

\[
2^{-(3 - 2x^2)} = 2^{x^2 + 2.4}
\]

\[
-3 + 2x^2 = x^2 + 2.4
\]

\[
x^2 = 5.4
\]

\[
x = \pm \sqrt{5.4} = \pm \sqrt{\frac{27}{5}} = \pm \frac{3\sqrt{15}}{5}
\]

**g) \(\log_5(3x - 5) = \log_5(2x + 1)\)**

Điều kiện: \(3x - 5 > 0\) và \(2x + 1 > 0\), suy ra \(x > \frac{5}{3}\)

\[
3x - 5 = 2x + 1
\]

\[
x = 6
\]

Giá trị này thỏa mãn điều kiện \(x > \frac{5}{3}\).

**h) \(\log_{\frac{1}{7}}(x + 9) = \log_{\frac{1}{7}}(2x - 1)\)**

Điều kiện: \(x + 9 > 0\) và \(2x - 1 > 0\), suy ra \(x > \frac{1}{2}\)

\[
x + 9 = 2x - 1
\]

\[
x = 10
\]

Giá trị này thỏa mãn điều kiện \(x > \frac{1}{2}\).

**i) \(\log_{\sqrt{2}}(x) = \log_2(x + 2)\)**

Điều kiện: \(x > 0\) và \(x + 2 > 0\)

\[
\log_{2^{1/2}}(x) = \log_2(x + 2)
\]

\[
2\log_2(x) = \log_2(x + 2)
\]

\[
\log_2(x^2) = \log_2(x + 2)
\]

\[
x^2 = x + 2
\]

\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

\[
(x - 2)(x + 1) = 0
\]

\[
x = 2 \text{ hoặc } x = -1
\]

Vì \(x > 0\), nên \(x = 2\).

**k) \(\log_2(x^2 - 1026x) = \log_2(x)\)**

Điều kiện: \(x > 0\) và \(x^2 - 1026x > 0\) suy ra \(x > 1026\)

\[
x^2 - 1026x = x
\]

\[
x^2 - 1027x = 0
\]

\[
x(x - 1027) = 0
\]

\[
x = 0 \text{ hoặc } x = 1027
\]

Vì \(x > 1026\), nên \(x = 1027\).

**l) \(\log_2(x + 3) = \log_2(2x^2 - x - 1)\)**

Điều kiện: \(x + 3 > 0\) và \(2x^2 - x - 1 > 0\)

\[
x > -3
\]

\[
2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1) > 0
\]

Suy ra \(x > 1\) hoặc \(x < -\frac{1}{2}\). Kết hợp với \(x > -3\), ta có \(x > 1\) hoặc \(-3 < x < -\frac{1}{2}\).

\[
x + 3 = 2x^2 - x - 1
\]

\[
2x^2 - 2x - 4 = 0
\]

\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

\[
(x - 2)(x + 1) = 0
\]

\[
x = 2 \text{ hoặc } x = -1
\]

So sánh với điều kiện, ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn, \(x = -1\) thỏa mãn.

**m) \(\log_3(x^2 + 4x) + \log_{\frac{1}{3}}(2x + 3) = 0\)**

Điều kiện: \(x^2 + 4x > 0\) và \(2x + 3 > 0\)

\[
x(x + 4) > 0 \implies x > 0 \text{ hoặc } x < -4
\]

\[
2x + 3 > 0 \implies x > -\frac{3}{2}
\]

Kết hợp lại: \(x > 0\) hoặc \(- \frac{3}{2} < x < -4\) (vô lý)
Vậy, \(x > 0\)

\[
\log_3(x^2 + 4x) - \log_3(2x + 3) = 0
\]

\[
\log_3(x^2 + 4x) = \log_3(2x + 3)
\]

\[
x^2 + 4x = 2x + 3
\]

\[
x^2 + 2x - 3 = 0
\]

\[
(x - 1)(x + 3) = 0
\]

\[
x = 1 \text{ hoặc } x = -3
\]

So sánh với điều kiện \(x > 0\), ta có \(x = 1\) là nghiệm duy nhất.