Để tính góc giữa hai đường thẳng \( BD' \) và \( A'D \) trong hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \), ta cần xác định tọa độ của các điểm và sau đó sử dụng tích vô hướng của hai vector để tìm góc giữa chúng.

Giả sử hình lập phương có cạnh độ dài \( a \), ta có thể gán tọa độ cho các điểm như sau:

- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A'(0, 0, a) \)
- \( B'(a, 0, a) \)
- \( C'(a, a, a) \)
- \( D'(0, a, a) \)

**Tọa độ của các điểm cần thiết:**
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( D'(0, a, a) \)
- \( A'(0, 0, a) \)
- \( D(0, a, 0) \)

Bước 1: Tính vector \( \overrightarrow{BD'} \) và \( \overrightarrow{A'D} \)

- Vector \( \overrightarrow{BD'} = D' - B = (0, a, a) - (a, 0, 0) = (-a, a, a) \)
- Vector \( \overrightarrow{A'D} = D - A' = (0, a, 0) - (0, 0, a) = (0, a, -a) \)

Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vector

Tích vô hướng của hai vector \( \overrightarrow{BD'} \) và \( \overrightarrow{A'D} \) được tính bằng:

\[
\overrightarrow{BD'} \cdot \overrightarrow{A'D} = (-a, a, a) \cdot (0, a, -a) = (-a) \times 0 + a \times a + a \times (-a) = 0 + a^2 - a^2 = 0
\]

Bước 3: Tính độ dài của các vector

- Độ dài của \( \overrightarrow{BD'} \):
\[
|\overrightarrow{BD'}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
\]

- Độ dài của \( \overrightarrow{A'D} \):
\[
|\overrightarrow{A'D}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{0 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\]

**Bước 4: Sử dụng công thức tính góc giữa hai vector**

Góc \( \theta \) giữa hai vector được tính bằng công thức:

\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{BD'} \cdot \overrightarrow{A'D}}{|\overrightarrow{BD'}| \cdot |\overrightarrow{A'D}|}
\]

Thay giá trị vào:

\[
\cos(\theta) = \frac{0}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{2})} = 0
\]

Khi \( \cos(\theta) = 0 \), \( \theta = 90^\circ \).

 Kết luận:
Góc giữa hai đường thẳng \( BD' \) và \( A'D \) là \( 90^\circ \).