### Câu 1

#### a) Xét dấu của tam thức bậc hai $f(x) = -x^2 + 5x - 6$

Để xét dấu của tam thức bậc hai, trước tiên ta cần tìm nghiệm của phương trình $f(x) = 0$:

1. **Tìm nghiệm:**
Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Trong trường hợp này, $a = -1, b = 5, c = -6$.

Tính delta $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = 25 - 24 = 1$

Vì $\Delta > 0$, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-5 - 1}{-2} = 3$
$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-5 + 1}{-2} = 2$

Vậy, nghiệm của phương trình $f(x) = 0$ là $x_1 = 2$ và $x_2 = 3$.

2. **Xét dấu của $f(x)$:**
Ta xét trên các khoảng xác định bởi các nghiệm:

- **Khoảng $(-\infty, 2)$**: Chọn $x = 0$:
$f(0) = -0^2 + 5 \cdot 0 - 6 = -6 < 0$

- **Khoảng $(2, 3)$**: Chọn $x = 2.5$:
$f(2.5) = - (2.5)^2 + 5 \cdot 2.5 - 6 = -6.25 + 12.5 - 6 = 0.25 > 0$

- **Khoảng $(3, +\infty)$**: Chọn $x = 4$:
$f(4) = -4^2 + 5 \cdot 4 - 6 = -16 + 20 - 6 = -2 < 0$

3. **Kết luận:**
- $f(x) < 0$ khi $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$
- $f(x) = 0$ khi $x = 2$ và $x = 3$
- $f(x) > 0$ khi $x \in (2, 3)$

#### b) Giải phương trình $\sqrt{2x^2 - 6x - 4} = x - 2$

Bước 1: **Điều kiện xác định**

Để có nghiệm thực, ta cần:

$x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2$

Bước 2: **Bình phương hai vế**

Bình phương hai vế của phương trình:

$2x^2 - 6x - 4 = (x - 2)^2$

Mở rộng vế phải:

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

Bước 3: **Chuyển vế**

Ta có:

$2x^2 - 6x - 4 = x^2 - 4x + 4 \implies 2x^2 - x^2 - 6x + 4x - 4 = 0$

Sử dụng các hạng tử trong phương trình:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Bước 4: **Giải phương trình bậc hai**

Sử dụng công thức nghiệm bậc hai:

$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Nghiệm là:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}$

Tìm nghiệm cụ thể:

- $x_1 = \frac{8}{2} = 4$
- $x_2 = \frac{-4}{2} = -2$

Bước 5: **Kiểm tra điều kiện**

Chỉ lấy nghiệm phù hợp với điều kiện $x \geq 2$:

- $x = 4$ phù hợp.
- $x = -2$ không phù hợp.

Bước 6: **Kiểm tra sự thỏa mãn của nghiệm**

Ta kiểm tra lại trong phương trình gốc:

$\sqrt{2(4)^2 - 6(4) - 4} = 4 - 2$

Tính bên trái:

$\sqrt{32 - 24 - 4} = \sqrt{4} = 2$
Tính bên phải:

$4 - 2 = 2$

Cả hai bên đều bằng nhau, vậy:

### Kết luận:

1. Nghiệm của phương trình là: $x = 4$
2. Dấu của tam thức $f(x) = -x^2 + 5x - 6$ đã được xác định.