Để giải quyết bài toán với tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với đường cao \( AH \), chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a, b, c.

### a) Chứng minh rằng \( \triangle ABH \sim \triangle CBA \)

Để chứng minh \( \triangle ABH \sim \triangle CBA \), ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn góc (góc-góc).

- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có nghĩa là \( \angle CAB = 90^\circ \).
- Ta có góc \( \angle HAB \) nằm ở trong tam giác \( ABH \) và cũng chính là một góc trong tam giác \( CBA \).

- Ta có \( \angle AHB \) (góc cùng tại A) là một góc chung.

Như vậy:
- \( \angle HAB = \angle CAB \) (góc vuông tại A)
- \( \angle AHB = \angle CBA \) (góc chung)

Từ đó, ta suy ra:
\[
\triangle ABH \sim \triangle CBA \quad (\text{theo tiêu chuẩn góc-góc})
\]

### b) Tính độ dài đoạn thẳng \( AB \) và \( AC \)

Sử dụng tỉ số của các cạnh trong hai tam giác đồng dạng \( \triangle ABH \) và \( \triangle CBA \):

Từ tính chất đồng dạng của hai tam giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AH} = \frac{CB}{CA}
\]

Trong đó, \( AH = 12 \) cm, \( BH + CH = BC \) với \( BH = 16 \) cm và \( CH = 9 \) cm, từ đó ta có:
\[
BC = 16 + 9 = 25 \text{ cm}
\]

Theo tỉ lệ, vì \( \triangle ABH \sim \triangle CBA \), ta có:
\[
\frac{AB}{12} = \frac{16}{25}
\]

Tính \( AB \):
\[
AB = \frac{16}{25} \cdot 12 = \frac{192}{25} = 7.68 \text{ cm}
\]

Tương tự, ta có:
\[
\frac{AC}{AH} = \frac{CH}{CA}
\]
\[
\frac{AC}{12} = \frac{9}{25}
\]

Tính \( AC \):
\[
AC = \frac{9}{25} \cdot 12 = \frac{108}{25} = 4.32 \text{ cm}
\]

### c) Tính tỉ số diện tích giữa \( \triangle ABH \) và \( \triangle CAH \)

Diện tích tam giác có thể được tính bằng công thức:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times \text{cạnh} \times \text{đường cao}
\]

1. Diện tích của \( \triangle ABH \):
\[
S_{ABH} = \frac{1}{2} \times AB \times AH
\]
2. Diện tích của \( \triangle CAH \):
\[
S_{CAH} = \frac{1}{2} \times AC \times AH
\]

Tỉ số diện tích giữa hai tam giác là:
\[
\frac{S_{ABH}}{S_{CAH}} = \frac{AB}{AC}
\]

Tính tỉ số:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{7.68}{4.32} = \frac{16}{9}
\]

Vậy tỉ số diện tích giữa \( \triangle ABH \) và \( \triangle CAH \) là:
\[
\frac{S_{ABH}}{S_{CAH}} = \frac{16}{9}
\]

### Kết luận:
- **a)** \( \triangle ABH \sim \triangle CBA \)
- **b)** \( AB = 7.68 \, \text{cm}, AC = 4.32 \, \text{cm} \)
- **c)** Tỉ số diện tích giữa \( \triangle ABH \) và \( \triangle CAH \) là \( \frac{16}{9} \).