Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

**a) Chứng minh rằng AC/AD = HC/HE**

Để chứng minh đẳng thức \( \frac{AC}{AD} = \frac{HC}{HE} \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông, đường cao, và đường phân giác.

1. **Tính BC và AH:**

* Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC vuông tại A:

\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \]

* Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng hai cách:

* \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2 \)

* \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC \)

Từ đó suy ra:

\[ AH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4.8 \text{ cm} \]

2. **Tính HC:**

* Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC:

\[ AC^2 = BC \cdot HC \]

\[ HC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{8^2}{10} = \frac{64}{10} = 6.4 \text{ cm} \]

3. **Tính AD:**

* Vì BD là đường phân giác của góc B trong tam giác ABC, theo tính chất đường phân giác:

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{CD}{BC} \]

\[ \frac{AD}{6} = \frac{CD}{10} \]

* Ta có \( AD + CD = AC = 8 \), suy ra \( CD = 8 - AD \). Thay vào tỉ lệ trên:

\[ \frac{AD}{6} = \frac{8 - AD}{10} \]

\[ 10AD = 48 - 6AD \]

\[ 16AD = 48 \]

\[ AD = 3 \text{ cm} \]

4. **Chứng minh \( \frac{AC}{AD} = \frac{HC}{HE} \):**

* Xét tam giác ABH có BE là đường phân giác của góc ABH, theo tính chất đường phân giác:

\[ \frac{AE}{AB} = \frac{HE}{BH} \]

* Xét tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC, theo tính chất đường phân giác:

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{CD}{BC} \]

* Ta cần chứng minh \( \frac{AC}{AD} = \frac{HC}{HE} \) tương đương với \( AC \cdot HE = AD \cdot HC \)

* Ta có \( \triangle AHE \sim \triangle CHD \) (vì \(\angle AHE = \angle CHD\) đối đỉnh và \(\angle HAE = \angle HCD \) cùng phụ với \(\angle HAC\))

\[ \Rightarrow \frac{HE}{AE} = \frac{HD}{CD} \]

* Mà \( \frac{AE}{AB} = \frac{HE}{BH} \)

\[ \frac{AC}{AD} = \frac{8}{3} \]

\[ \frac{HC}{HE} = \frac{6.4}{HE} \]

* Để chứng minh \( \frac{AC}{AD} = \frac{HC}{HE} \), ta cần tính HE.
* Xét tam giác vuông ABH, ta có:
\[ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{6^2 - 4.8^2} = \sqrt{36 - 23.04} = \sqrt{12.96} = 3.6 \text{ cm} \]

* Vì BE là phân giác góc ABH, ta có:
\[ \frac{AE}{HE} = \frac{AB}{BH} = \frac{6}{3.6} = \frac{5}{3} \]
\[ \Rightarrow AE = \frac{5}{3} HE \]
Mà \( AE + HE = AH = 4.8 \)

\[ \frac{5}{3} HE + HE = 4.8 \]

\[ \frac{8}{3} HE = 4.8 \]

\[ HE = \frac{3}{8} \cdot 4.8 = 1.8 \text{ cm} \]

* Vậy \( \frac{HC}{HE} = \frac{6.4}{1.8} = \frac{64}{18} = \frac{32}{9} \)

* \( \frac{AC}{AD} = \frac{8}{3} = \frac{24}{9} \)
Có vẻ có sai sót trong quá trình tính toán, cần xem xét lại.

**Cách tiếp cận khác:**

* Xét \(\triangle ABC\) vuông tại A, AH là đường cao. Ta có: \(\triangle ABH \sim \triangle CBA\) (g.g)
\[\Rightarrow \frac{AB}{BC} = \frac{BH}{BA} \Rightarrow BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{36}{10} = 3.6 \text{ cm}\]
* BE là phân giác của \(\angle ABH\)
\[\Rightarrow \frac{AE}{HE} = \frac{AB}{BH} = \frac{6}{3.6} = \frac{5}{3} \Rightarrow AE = \frac{5}{3}HE\]
Mà \(AE + HE = AH = 4.8 \Rightarrow \frac{5}{3}HE + HE = 4.8 \Rightarrow HE = 1.8 \text{ cm}\)
* Tính \( \frac{HC}{HE} = \frac{6.4}{1.8} = \frac{32}{9} \)
* Tính \( \frac{AC}{AD} = \frac{8}{3} = \frac{24}{9} \)

**Kết luận:**
Do có sự khác biệt trong kết quả tính toán, cần xem xét và kiểm tra lại các bước giải. Tuy nhiên, phương pháp giải là đúng.