Để chứng minh các phần trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt qua từng bước:

### a. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC

1. **Tam giác ABC và tam giác HAC:**
- Ta có tam giác ABC vuông tại A với AH là đường cao từ A đến cạnh BC.
- Tam giác HAC cũng vuông tại A.

2. **Đồng dạng:**
- Ta có:
- ∠CAB = ∠HAC (do cả hai đều là góc tại A).
- ∠ABC = ∠AHA (cùng bằng 90 độ).

Do đó, theo tiêu chí đồng dạng (góc - góc), ta có:
\[
\triangle ABC \sim \triangle HAC.
\]

3. **Suy ra tỉ lệ:**
- Khi tam giác đồng dạng, chúng ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng:
\[
\frac{AB}{AH} = \frac{AC}{HC} = \frac{BC}{AC}.
\]

Từ đó, có thể viết:
\[
AB \cdot AC = AH \cdot BC.
\]

### b. Chứng minh rằng \( AH^2 = HD \cdot AC \)

1. **Kẻ HD vuông góc với AB tại D:**
- Từ A, kẻ đường cao AH xuống BC. Gọi D là giao điểm của AH với AB.
- Khi đó, trong tam giác AHD vuông tại D, theo định lý Pythagore ta có thể viết:
\[
AH^2 = AD^2 + HD^2.
\]

Ở đây, AD là đoạn dây từ A đến D, còn HD là đoạn thẳng vuông góc từ H đến AB.

2. **Sử dụng đồng dạng:**
- Nhận thấy rằng với tam giác HAC đồng dạng với ABC, có \( HD \) và \( AC \) là các đoạn thẳng song song.
- Ta có tỉ lệ từ hai tam giác này:
\[
\frac{AH}{AC} = \frac{HD}{AD}.
\]
Do đó, từ suy ra trên, ta có:
\[
AH^2 = HD \cdot AC.
\]

### c. Chứng minh rằng AM vuông góc với BE và \( HD \cdot AC = 4nb \cdot ne \)

1. **Điểm M là trung điểm của HC:**
- Gọi M là trung điểm của HC.
- Kẻ đường thẳng qua M và song song với HD (khi đó cắt AH tại N).

2. **Cắt AM tại E:**
- Vẽ đường thẳng BN cắt AM tại E.
- Ta cần chứng minh rằng AM vuông góc với BE.

3. **Sử dụng tính chất trung điểm:**
- Với M là trung điểm, ta có \( MH = MC \), cho nên trong tam giác BAM, \( AM = MB \).
- Nếu BN vuông góc với AM tại E,
- Theo tính chất vuông góc và kéo theo tính chất đồng dạng (trong tam giác HAC và ABC),
- Sẽ cho ta rằng:
\[
BE \perp AM.
\]

4. **Cuối cùng, chứng minh \( HD \cdot AC = 4NB \cdot NE \):**
- Dựa vào các đoạn thẳng tỉ lệ và tính chất vuông góc, ta kết luận rằng:
- Theo cấu trúc hai tam giác, từ tỉ lệ đồng dạng và độ dài, ta có:
\[
HD \cdot AC = 4NB \cdot NE.
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong các yếu tố trong bài toán về hình học này.