Để giải hệ phương trình sau:
1. \( X \cdot (X + 1)(X - 1)(X + 2) = 24 \)
2. \( (X - 4)(X - 5)(X - 6)(X - 7) = 1680 \)
3. \( X \cdot (X - 1)(X + 1)(X + 2) = 24 \)

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một và tìm giá trị của \(X\).

### Phương trình 1: \( X \cdot (X + 1)(X - 1)(X + 2) = 24 \)

Trước tiên, hãy đơn giản hóa phương trình này:

\[
X \cdot (X^2 - 1)(X + 2) = 24
\]

Tính \( (X^2 - 1)(X + 2) \):

\[
(X^2 - 1)(X + 2) = X^3 + 2X^2 - X - 2
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
X \cdot (X^3 + 2X^2 - X - 2) = 24
\]

Dễ dàng làm rõ hơn:

\[
X^4 + 2X^3 - X^2 - 2X - 24 = 0
\]

### Phương trình 2: \( (X - 4)(X - 5)(X - 6)(X - 7) = 1680 \)

Tính giá trị của bên trái, ta sẽ thử tìm \(X\) sao cho tích bốn số liên tiếp bằng \(1680\). Giải phương trình này thường có thể sử dụng số thực hoặc tìm kiếm giá trị gần kề.

Giả sử \(X = 6\):

\[
(6 - 4)(6 - 5)(6 - 6)(6 - 7) = 2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot (-1) = 0 \quad \text{(không phải)}
\]

Giả sử \(X = 8\):

\[
(8 - 4)(8 - 5)(8 - 6)(8 - 7) = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \quad \text{(không phải)}
\]

Giả sử \(X = 9\):

\[
(9 - 4)(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \quad \text{(không phải)}
\]

Giả sử \(X = 10\):

\[
(10 - 4)(10 - 5)(10 - 6)(10 - 7) = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 \quad \text{(không phải)}
\]

Giả sử \(X = 11\):

\[
(11 - 4)(11 - 5)(11 - 6)(11 - 7) = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840 \quad \text{(không phải)}
\]

Giả sử \(X = 12\):

\[
(12 - 4)(12 - 5)(12 - 6)(12 - 7) = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680 \quad \text{(đúng)}
\]

Vậy giá trị \(X\) từ phương trình 2 là \(X = 12\).

### Phương trình 3: \( X \cdot (X - 1)(X + 1)(X + 2) = 24 \)

Giờ ta sẽ kiểm tra với \(X = 12\):

\[
12 \cdot (12 - 1)(12 + 1)(12 + 2) = 12 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 14
\]

Tính trước:

\[
12 \cdot 11 = 132
\]
\[
13 \cdot 14 = 182
\]
\[
132 \cdot 182 = 24024 \quad \text{(Không đúng)}
\]

### Kết luận

Để đáp ứng tất cả các phương trình, chỉ có phương trình thứ hai cho ra giá trị \(X = 12\). Tuy nhiên, phương trình thứ nhất và thứ ba chưa được thỏa mãn.

Cần phải xem lại phương trình 1 và phương trình 3 thử các giá trị khác nếu bạn muốn tìm ra lời giải cho tất cả các phương trình hay xem như chỉ \(X = 12\) là một nghiệm tối ưu cho phương trình 2.

### Nghiệm cuối cùng:
Giá trị \(X = 12\) từ phương trình 2.