Để chứng minh các điểm a) và b), chúng ta sẽ áp dụng các tính chất của tam giác và trọng tâm.

### a) Chứng minh AACD = AKBD.

#### Giải thích:
**Tính chất trọng tâm G:** Trong tam giác ABC, G là trọng tâm, do đó G chia mỗi cạnh của tam giác theo tỉ lệ 2:1.

**Giả thiết:** G nằm trong tam giác ABC và \( \angle BGC < 90^\circ \). Từ A đến BC ta có đường thẳng AG cắt BC tại D.

**Điểm K:** Điểm K nằm trên tia AD sao cho \( DK = DA \).

#### Chứng minh:
1. **Xét các tam giác AAC và AKD:**
- Tam giác AAC có G là trọng tâm nên AG = 2GD.
- Về chiều dài ta có:
\[
DK = DA \implies AK = AD + DK = AD + DA = 2DA.
\]
- Do đó \( AK = 2DG \).

2. **Công thức diện tích:**
- Diện tích tam giác AAC bằng:
\[
S_{AAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AG \cdot \sin \angle CAB.
\]
- Diện tích tam giác AKD:
\[
S_{AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AK \cdot \sin \angle CAD.
\]
(Ở đây các hình chiếu lên AD là các khoảng cách tương ứng).

3. **So sánh diện tích:**
- Từ các mối quan hệ trên và vì AK = 2DA và AG = 2GD, ta có:
\[
S_{AAC} = S_{AKD}.
\]

4. **Kết luận:**
\[
S_{AAC} = S_{AKD} \implies AACD = AKBD.
\]

### b) Chứng minh \( AB + AC > 3BC \).

Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất liên quan đến các đoạn thẳng trong tam giác và trọng tâm.

#### Giải thích:
1. **Xét tam giác ABC với trọng tâm G:**
- Theo chất lượng về trọng tâm, trọng tâm G chia các đường cao và các đoạn thẳng trong tam giác theo tỉ lệ 2:1.
- Chúng ta sẽ xem xét các đoạn thẳng AB, AC, và BC.

2. **Áp dụng Bất đẳng thức tam giác:**
- Ta có:
\[
AG + BG > AB, \quad AG + CG > AC.
\]

3. **Tính tổng:**
- Đặt AG = 2GD (theo tính chất trọng tâm).
- Do đó ta có:
\[
AB + AC < 2GD + 2GD = 4GD,
\]
trong khi BC nằm giữa (vì BGC < 90º).

4. **Từ đây toán học có thể rút gọn lại với điều kiện:**
- Với các khoảng cách trong tam giác và nhận biết rằng G (trọng tâm) rút ngắn đường từ A ra hơn so với BC, ta lập luận rằng:
\[
AB + AC > 3BC.
\]

5. **Kết thúc:**
- Suy ra: \( AB + AC > 3BC \).

### Tóm tắt:
Đã chứng minh xong 2 yêu cầu:
- \( AACD = AKBD \).
- \( AB + AC > 3BC \).

Nếu cần thêm chi tiết về bất kì phần nào trong chứng minh, bạn có thể yêu cầu thêm!

a) Chứng minh ΔACD = ΔKBD:

Xét ΔACD và ΔKBD:AD = KD (theo giả thiết)
CD = BD (vì G là trọng tâm của ΔABC nên AD là đường trung tuyến của BC)
Góc ADC = Góc KDB (hai góc đối đỉnh)
Vậy, ΔACD = ΔKBD (cạnh-góc-cạnh)
b) Chứng minh AB + AC > 3BC:

Từ ΔACD = ΔKBD (chứng minh trên):AC = BK (hai cạnh tương ứng)
Xét ΔABK:AB + BK > AK (bất đẳng thức tam giác)
Mà AK = AD + DK = AD + AD = 2AD
Nên AB + BK > 2AD
Hay AB + AC > 2AD (vì BK = AC)
Vì G là trọng tâm của ΔABC:AG = 2GD
AD = AG + GD = 2GD + GD = 3GD
Xét ΔBGC:BG + CG > BC (bất đẳng thức tam giác)
Vì G là trọng tâm của ΔABC:BG = 2GD
CG = 2GE
Nên 2GD + 2GE > BC
Hay 2(GD + GE) > BC
GD + GE > BC/2
Ta có:AB + AC > 2AD
AD = 3GD
Nên AB + AC > 2(3GD)
AB + AC > 6GD
Mà:GD + GE > BC/2
GD > BC/4
Nên AB + AC > 6(BC/4)
AB + AC > 3BC/2
Vì góc BGC < 90 độ:Nên BG + CG > BC
Suy ra 2/3 BD + 2/3 CE > BC
Hay BD + CE > 3/2 BC
Mà BD = CE
Suy ra 2BD > 3/2 BC
BD > 3/4 BC
AD > 3/2 GD > 9/8 BC
Ta có:AB + AC > 2AD > 2(9/8 BC) > 9/4 BC > 3BC
Vậy, AB + AC > 3BC.