Để xác định các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho bất phương trình \( f(x) = (m+1)^2 + mx + m \geq 0 \) vô nghiệm với mọi \( x \in \mathbb{R} \), chúng ta cần xem xét các điều kiện để hàm bậc hai này luôn không âm.

### Bước 1: Chuyển đổi hàm thành dạng chuẩn

Hàm \( f(x) \) là một hàm bậc hai có dạng
\[
f(x) = ax^2 + bx + c
\]
với:
- \( a = m \)
- \( b = m \)
- \( c = (m+1)^2 + m \).

### Bước 2: Điều kiện cho hàm bậc hai không có nghiệm

Để hàm bậc hai \( f(x) \) không có nghiệm (tức là vô nghiệm), chúng ta cần điều kiện sau:

1. **Hệ số \( a \geq 0 \)** (để hàm có dạng hình phải hoặc đường thẳng)
2. **Đ discriminant \( b^2 - 4ac < 0 \)** (để hàm không cắt trục hoành)

### Bước 3: Xác định hệ số \( a \)

Ta có:
\[
a = m
\]
Điều này có nghĩa là:
- Để \( m \geq 0 \)

### Bước 4: Tính toán discriminant

Thay giá trị \( a, b, c \) vào công thức discriminant:
\[
D = b^2 - 4ac = m^2 - 4(m)((m+1)^2 + m)
\]
=>
\[
D = m^2 - 4m((m^2 + 2m + 1) + m) = m^2 - 4m(m^2 + 3m + 1)
\]

### Bước 5: Rút gọn D

\[
D = m^2 - 4m^3 - 12m^2 - 4m = -4m^3 - 11m^2 - 4m
\]

### Bước 6: Điều kiện D < 0

Ta cần giải bất phương trình:
\[
-4m^3 - 11m^2 - 4m < 0
\]
hay
\[
4m^3 + 11m^2 + 4m > 0
\]
Ta có thể phân tích biểu thức này:
\[
= m(4m^2 + 11m + 4) > 0
\]
### Bước 7: Xét các nghiệm

1. **Tính nghiệm của phương trình bậc hai \( 4m^2 + 11m + 4 = 0 \)**
- Tính discriminant:
\[
D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 121 - 64 = 57 > 0
\]
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[
m_1, m_2 = \frac{-11 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}
\]

2. **Tính giá trị**:
- \( m_1 = \frac{-11 - \sqrt{57}}{8} \) (nghiệm nhỏ hơn 0)
- \( m_2 = \frac{-11 + \sqrt{57}}{8} \) (nghiệm lớn hơn 0)

### Kết luận

Do đó, bất phương trình có nghiệm khi \( m \in \left( \frac{-11 + \sqrt{57}}{8}, \infty \right) \) hoặc \( m = 0 \).

Các giá trị của \( m \) sao cho bất phương trình \( f(x) \geq 0 \) vô nghiệm là:
\[
m \in (-\infty, m_1) \cup [0, m_2)
\]
Cụ thể:
- \( m \leq 0 \) (do điều kiện ở trên)

### Kết quả cuối cùng

Tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) để bất phương trình \( (m+1)^2 + mx + m \geq 0 \) vô nghiệm là \( m < m_1 \) hoặc \( m = 0 \).