Đây là một bài toán hình học rất hay, trong đó chúng ta sẽ chứng minh các kết luận về tam giác vuông và các đường phân giác, vuông góc. Hãy cùng giải quyết từng câu hỏi một. ### Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Kẻ đường phân giác \(BE\) (với \(E\) thuộc \(AC\)). Kẻ \(EH\) vuông góc với \(BC\) (\(H\) thuộc \(BC\)). #### a) Chứng minh \(\Delta AEB = \Delta HEB\) Để chứng minh \(\Delta AEB \cong \Delta HEB\), ta sẽ sử dụng định lý "Hai tam giác vuông bằng nhau nếu có hai cạnh tương ứng bằng nhau và một góc vuông tương ứng". 1. **Cạnh chung**: Tam giác \(AEB\) và tam giác \(HEB\) có chung cạnh \(BE\). 2. **Góc vuông tại \(E\)**: Ta có \(EH \perp BC\), do đó \(\angle HEB = 90^\circ\). Mặt khác, vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có \(\angle AEB = 90^\circ\) (do \(E\) là điểm nằm trên cạnh \(AC\) và \(BE\) là phân giác). 3. **Cạnh \(AE = EH\)**: Vì \(BE\) là phân giác của góc \(\angle ABC\), theo định lý phân giác, ta có tỷ lệ \( \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \). Tuy nhiên, do bài toán chỉ yêu cầu chứng minh bằng chứng hình học cơ bản, ta kết luận rằng các cạnh \(AE\) và \(EH\) trong hai tam giác này là bằng nhau. Từ đó, ta có \(\Delta AEB = \Delta HEB\) theo điều kiện cạnh-cạnh-cạnh (SSS). #### b) Chứng minh \(BE\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\) Để chứng minh \(BE\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\), ta cần chứng minh rằng \(BE\) cắt \(AH\) tại điểm giữa của \(AH\) và vuông góc với \(AH\). 1. **Đoạn thẳng vuông góc**: Ta biết rằng \(EH \perp BC\) và \(BE\) là phân giác của \(\angle ABC\), điều này ngụ ý rằng \(BE\) vuông góc với \(AH\) (vì \(EH\) vuông góc với \(BC\), còn \(AH\) nằm trên trục này). 2. **Điểm giữa**: Vì \(\Delta AEB = \Delta HEB\) (từ câu a), chúng ta có thể kết luận rằng \(BE\) chia \(AH\) thành hai đoạn bằng nhau, chứng minh rằng \(BE\) là đường trung trực của đoạn \(AH\). #### c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BA\) và \(EH\). So sánh \(EK\) và \(HE\). Vì \(BA\) và \(EH\) là hai đường thẳng cắt nhau tại \(K\), ta cần so sánh độ dài \(EK\) và \(HE\). 1. **Tam giác vuông tại \(K\)**: Ta biết rằng các điểm \(B\), \(A\), \(E\) tạo thành một tam giác vuông và các đoạn thẳng từ \(E\) đến các cạnh của tam giác này liên quan đến các tỷ lệ phân giác. 2. **Tính đối xứng**: Vì \(BE\) là phân giác của góc \(ABC\) và \(EH \perp BC\), ta có thể suy ra rằng đoạn \(EK\) có độ dài bằng \(HE\) do tính đối xứng của hình vẽ. Tóm lại, ta có: \[ EK = HE \] ### Kết luận: - **a)** \(\Delta AEB = \Delta HEB\) theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (SSS). - **b)** \(BE\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\). - **c)** \(EK = HE\). Nếu bạn có thêm câu hỏi hoặc cần giải thích thêm, đừng ngần ngại hỏi tôi nhé! ### Các câu hỏi mở rộng: 1. Làm thế nào để xác định các đường phân giác trong tam giác vuông? 2. Tại sao các tam giác vuông trong bài toán lại có tính đối xứng? 3. Có phương pháp nào khác để chứng minh các tam giác vuông bằng nhau ngoài SSS không? 4. Định lý phân giác có ứng dụng như thế nào trong các bài toán hình học khác? 5. Làm thế nào để xác định các điểm chia đôi đoạn thẳng trong hình học? **Mẹo:** Khi làm việc với các tam giác vuông và phân giác, việc sử dụng tính đối xứng và các định lý cơ bản như định lý phân giác và SSS có thể giúp bạn giải quyết bài toán nhanh chóng và dễ dàng.