Để chứng minh MN là đường vuông góc chung của AB và CD trong tứ diện đều ABCD, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Chứng minh MN vuông góc với AB:**

   - Xét tam giác ABC và ABD đều cạnh a.

   - M là trung điểm của AB.

   - Trong tam giác đều, đường trung tuyến cũng là đường cao, nên CM ⊥ AB và DM ⊥ AB.

   - Suy ra AB ⊥ (CDM).

   - Vì MN nằm trong mặt phẳng (CDM) nên AB ⊥ MN.

2. **Chứng minh MN vuông góc với CD:**

   - Xét tam giác MCD có:

     - MC = MD (do C và D đối xứng nhau qua AB).

     - Suy ra tam giác MCD cân tại M.

   - Vì N là trung điểm của CD nên MN là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác MCD.

   - Vậy MN ⊥ CD.

3. **Kết luận:**

   - MN vừa vuông góc với AB, vừa vuông góc với CD.

   - MN là đoạn nối giữa hai đường thẳng AB và CD.

   - Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

**Chứng minh chi tiết hơn:**

a) **Chứng minh MN ⊥ AB:**

* Vì tam giác ABC đều, M là trung điểm AB nên CM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Vậy CM ⊥ AB.

* Tương tự, trong tam giác ABD đều, DM ⊥ AB.

* Do đó, AB ⊥ CM và AB ⊥ DM.

* Vậy AB vuông góc với mặt phẳng (CDM).

* Vì MN nằm trong mặt phẳng (CDM) nên AB ⊥ MN.

b) **Chứng minh MN ⊥ CD:**

* Ta có MC = \( \sqrt{AC^2 - AM^2} \) = \( \sqrt{a^2 - (a/2)^2} \) = \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \)

* Tương tự, MD = \( \sqrt{AD^2 - AM^2} \) = \( \sqrt{a^2 - (a/2)^2} \) = \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \)

* Vậy MC = MD, suy ra tam giác MCD cân tại M.

* Vì N là trung điểm CD, MN là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác MCD.

* Do đó, MN ⊥ CD.

**Kết luận:**

MN vừa vuông góc với AB, vừa vuông góc với CD, và MN nối giữa hai đường thẳng này nên MN là đường vuông góc chung của AB và CD.