Để giải quyết bài toán này, ta sẽ giải thích các phần a) và b) một cách chi tiết:

### a) Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang:

1. **Giả thiết**: $\Delta ABC$ là tam giác nhọn, $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $CM$ cắt $AB$ tại $Q$.

2. **Cần chứng minh**: Tứ giác $MNCB$ là hình thang, tức là một trong hai cặp cạnh đối diện của tứ giác song song.

3. **Chứng minh**:

- Vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$, ta có:
$AM = MB \quad \text{và} \quad AN = NC$
- Đoạn thẳng $QN$ song song với $CM$ theo giả thiết của bài toán.
- Vì $QN \parallel CM$, theo định lý “hai đường thẳng song song cắt một đường chéo của một tứ giác”, ta có thể suy ra rằng $MNCB$ là hình thang, với cặp cạnh đối diện $QN \parallel CM$ là song song.

Do đó, tứ giác $MNCB$ là hình thang.

### b) Chứng minh $AM^2 = AQ \cdot AB$:

1. **Giả thiết**: $AM = MB$ và $N$ là trung điểm của $AC$, đường thẳng $QN$ song song với $CM$ cắt $AB$ tại $Q$.

2. **Cần chứng minh**: $AM^2 = AQ \cdot AB$.

3. **Chứng minh**:

- Ta sử dụng định lý **Thalès** trong tam giác $\Delta ABC$ và đường thẳng $QN$ song song với $CM$.
- Vì $QN \parallel CM$, ta có tỷ lệ giữa các đoạn thẳng:
$\frac{AQ}{AB} = \frac{AN}{AC}$
- Do $N$ là trung điểm của $AC$, ta có $AN = NC$, vì vậy:
$\frac{AQ}{AB} = \frac{1}{2}$
- Từ đó, ta suy ra:
$AQ = \frac{AB}{2}$
- Cuối cùng, ta tính $AM^2$ và $AQ \cdot AB$:
$AM = \frac{AB}{2} \quad \text{(vì \(M\) là trung điểm của \(AB\))}$
$AM^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{AB^2}{4}$
$AQ \cdot AB = \left(\frac{AB}{2}\right) \cdot AB = \frac{AB^2}{2}$
- Vì vậy, $AM^2 = AQ \cdot AB$, ta đã chứng minh xong.

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ giải thích các phần a) và b) một cách chi tiết:

### a) Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang:

1. **Giả thiết**: 

Δ

A

B

C

 là tam giác nhọn, 

M

 và 

N

 lần lượt là trung điểm của 

A

B

 và 

A

C

. Qua 

N

 kẻ đường thẳng song song với 

C

M

 cắt 

A

B

 tại 

Q

.

2. **Cần chứng minh**: Tứ giác 

M

N

C

B

 là hình thang, tức là một trong hai cặp cạnh đối diện của tứ giác song song.

3. **Chứng minh**:

- Vì 

M

 và 

N

 lần lượt là trung điểm của 

A

B

 và 

A

C

, ta có:

A

M

=

M

B

và

A

N

=

N

C

- Đoạn thẳng 

Q

N

 song song với 

C

M

 theo giả thiết của bài toán.

- Vì 

Q

N

∥

C

M

, theo định lý “hai đường thẳng song song cắt một đường chéo của một tứ giác”, ta có thể suy ra rằng 

M

N

C

B

 là hình thang, với cặp cạnh đối diện 

Q

N

∥

C

M

 là song song.

Do đó, tứ giác 

M

N

C

B

 là hình thang.

### b) Chứng minh 

A

M

2

=

A

Q

⋅

A

B

:

1. **Giả thiết**: 

A

M

=

M

B

 và 

N

 là trung điểm của 

A

C

, đường thẳng 

Q

N

 song song với 

C

M

 cắt 

A

B

 tại 

Q

.

2. **Cần chứng minh**: 

A

M

2

=

A

Q

⋅

A

B

.

3. **Chứng minh**:

- Ta sử dụng định lý **Thalès** trong tam giác 

Δ

A

B

C

 và đường thẳng 

Q

N

 song song với 

C

M

.

- Vì 

Q

N

∥

C

M

, ta có tỷ lệ giữa các đoạn thẳng:

A

Q

A

B

=

A

N

A

C

- Do 

N

 là trung điểm của 

A

C

, ta có 

A

N

=

N

C

, vì vậy:

A

Q

A

B

=

1

2

- Từ đó, ta suy ra:

A

Q

=

A

B

2

- Cuối cùng, ta tính 

A

M

2

 và 

A

Q

⋅

A

B

:

A

M

=

A

B

2

(vì 

M

 là trung điểm của 

A

B

)

A

M

2

=

(

A

B

2

)

2

=

A

B

2

4

A

Q

⋅

A

B

=

(

A

B

2

)

⋅

A

B

=

A

B

2

2

- Vì vậy, 

A

M

2

=

A

Q

⋅

A

B

, ta đã chứng minh xong.