Để giải quyết bài toán này, ta sẽ giải thích các phần a) và b) một cách chi tiết:

### a) Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang:

1. **Giả thiết**: \(\Delta ABC\) là tam giác nhọn, \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(CM\) cắt \(AB\) tại \(Q\).

2. **Cần chứng minh**: Tứ giác \(MNCB\) là hình thang, tức là một trong hai cặp cạnh đối diện của tứ giác song song.

3. **Chứng minh**:

- Vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), ta có:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad AN = NC
\]
- Đoạn thẳng \(QN\) song song với \(CM\) theo giả thiết của bài toán.
- Vì \(QN \parallel CM\), theo định lý “hai đường thẳng song song cắt một đường chéo của một tứ giác”, ta có thể suy ra rằng \(MNCB\) là hình thang, với cặp cạnh đối diện \(QN \parallel CM\) là song song.

Do đó, tứ giác \(MNCB\) là hình thang.

### b) Chứng minh \(AM^2 = AQ \cdot AB\):

1. **Giả thiết**: \(AM = MB\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\), đường thẳng \(QN\) song song với \(CM\) cắt \(AB\) tại \(Q\).

2. **Cần chứng minh**: \(AM^2 = AQ \cdot AB\).

3. **Chứng minh**:

- Ta sử dụng định lý **Thalès** trong tam giác \(\Delta ABC\) và đường thẳng \(QN\) song song với \(CM\).
- Vì \(QN \parallel CM\), ta có tỷ lệ giữa các đoạn thẳng:
\[
\frac{AQ}{AB} = \frac{AN}{AC}
\]
- Do \(N\) là trung điểm của \(AC\), ta có \(AN = NC\), vì vậy:
\[
\frac{AQ}{AB} = \frac{1}{2}
\]
- Từ đó, ta suy ra:
\[
AQ = \frac{AB}{2}
\]
- Cuối cùng, ta tính \(AM^2\) và \(AQ \cdot AB\):
\[
AM = \frac{AB}{2} \quad \text{(vì \(M\) là trung điểm của \(AB\))}
\]
\[
AM^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{AB^2}{4}
\]
\[
AQ \cdot AB = \left(\frac{AB}{2}\right) \cdot AB = \frac{AB^2}{2}
\]
- Vì vậy, \(AM^2 = AQ \cdot AB\), ta đã chứng minh xong.

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ giải thích các phần a) và b) một cách chi tiết:

### a) Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang:

1. **Giả thiết**: 

Δ

A

B

C

 là tam giác nhọn, 

M

 và 

N

 lần lượt là trung điểm của 

A

B

 và 

A

C

. Qua 

N

 kẻ đường thẳng song song với 

C

M

 cắt 

A

B

 tại 

Q

.

2. **Cần chứng minh**: Tứ giác 

M

N

C

B

 là hình thang, tức là một trong hai cặp cạnh đối diện của tứ giác song song.

3. **Chứng minh**:

- Vì 

M

 và 

N

 lần lượt là trung điểm của 

A

B

 và 

A

C

, ta có:

A

M

=

M

B

và

A

N

=

N

C

- Đoạn thẳng 

Q

N

 song song với 

C

M

 theo giả thiết của bài toán.

- Vì 

Q

N

∥

C

M

, theo định lý “hai đường thẳng song song cắt một đường chéo của một tứ giác”, ta có thể suy ra rằng 

M

N

C

B

 là hình thang, với cặp cạnh đối diện 

Q

N

∥

C

M

 là song song.

Do đó, tứ giác 

M

N

C

B

 là hình thang.

### b) Chứng minh 

A

M

2

=

A

Q

⋅

A

B

:

1. **Giả thiết**: 

A

M

=

M

B

 và 

N

 là trung điểm của 

A

C

, đường thẳng 

Q

N

 song song với 

C

M

 cắt 

A

B

 tại 

Q

.

2. **Cần chứng minh**: 

A

M

2

=

A

Q

⋅

A

B

.

3. **Chứng minh**:

- Ta sử dụng định lý **Thalès** trong tam giác 

Δ

A

B

C

 và đường thẳng 

Q

N

 song song với 

C

M

.

- Vì 

Q

N

∥

C

M

, ta có tỷ lệ giữa các đoạn thẳng:

A

Q

A

B

=

A

N

A

C

- Do 

N

 là trung điểm của 

A

C

, ta có 

A

N

=

N

C

, vì vậy:

A

Q

A

B

=

1

2

- Từ đó, ta suy ra:

A

Q

=

A

B

2

- Cuối cùng, ta tính 

A

M

2

 và 

A

Q

⋅

A

B

:

A

M

=

A

B

2

(vì 

M

 là trung điểm của 

A

B

)

A

M

2

=

(

A

B

2

)

2

=

A

B

2

4

A

Q

⋅

A

B

=

(

A

B

2

)

⋅

A

B

=

A

B

2

2

- Vì vậy, 

A

M

2

=

A

Q

⋅

A

B

, ta đã chứng minh xong.