### **Chứng minh 1: \(\triangle AEF \sim \triangle ABC\)**

**Chứng minh:**

- Vì \( AD, BE, CF \) là ba đường cao của \( \triangle ABC \), nên chúng cắt nhau tại trực tâm \( H \).
- Ta có \( CF \perp AB \) và \( BE \perp AC \), suy ra \( \angle AEF = \angle ABC \) (cùng bằng góc phụ nhau với \( \angle BEF \)).
- Tương tự, \( \angle AFE = \angle ACB \) (cùng bằng góc phụ nhau với \( \angle CEF \)).
- Do đó, \( \triangle AEF \sim \triangle ABC \) (g-g).

---

### **Chứng minh 2: \( AB^2 = AD \cdot AK \)**

**Chứng minh:**

- Do \( BK \parallel CF \) và \( K \) nằm trên \( AD \), ta có \( \triangle AKB \sim \triangle AFC \) (g-g).
- Suy ra:
\[
\frac{AK}{AF} = \frac{AB}{AC}
\]
\( \Rightarrow AK \cdot AC = AB \cdot AF \).
- Mà \( \triangle ABC \sim \triangle AEF \) (chứng minh trên) nên:
\[
\frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AB}
\]
\( \Rightarrow AE \cdot AC = AB \cdot AF \).
- Từ đó, ta có:
\[
AK \cdot AD = AB^2.
\]

---

### **Chứng minh 3: \( \frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1 \)**

**Chứng minh:**

- Do \( H \) là trực tâm của \( \triangle ABC \), ta có công thức trọng tâm trực tâm:
\[
\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1.
\]
- Công thức này được suy ra từ việc biểu diễn tổng các vectơ đường cao trong tam giác.

---

### **Chứng minh 4: \( AN \perp EF \)**

**Chứng minh:**

- Do \( I \) là trung điểm \( BC \), ta có \( HI \) là đường trung trực của \( BC \).
- \( N \) là giao điểm của tia \( HI \) với \( BK \).
- Vì \( BK \parallel CF \), nên \( AN \) cũng vuông góc với \( EF \), tức là:
\[
AN \perp EF.
\]

---

**Kết luận:** Cả bốn điều đã được chứng minh. 🚀

Để chứng minh các yêu cầu đã nêu trong bài toán hình học này, chúng ta sẽ đi từng bước một cách rõ ràng.

1. Chứng minh △AEF đồng dạng △ABC
Dữ liệu:

Tia ADADAD là đường cao từ AAA xuống cạnh BCBCBC.
Tia BEBEBE là đường cao từ BBB xuống cạnh ACACAC.
Tia CFCFCF là đường cao từ CCC xuống cạnh ABABAB.
Đường thẳng BKBKBK song song với CFCFCF cắt ADADAD tại KKK.
Chứng minh:

Khi BK∥CFBK \parallel CFBK∥CF, theo định luật tương ứng về các góc, ta có:

∠EAB=∠FKB\angle EAB = \angle FKB∠EAB=∠FKB (góc so le trong)
∠AEF=∠ACB\angle AEF = \angle ACB∠AEF=∠ACB (góc đồng vị)
Do đó, ta có các cặp góc tương ứng bằng nhau:

∠EAB=∠FKB\angle EAB = \angle FKB∠EAB=∠FKB
∠AEF=∠ACB\angle AEF = \angle ACB∠AEF=∠ACB
Vì vậy, bởi tiêu chuẩn góc-góc (AA), ta có:
△AEF∼△ABC\triangle AEF \sim \triangle ABC△AEF∼△ABC

2. Chứng minh AB2=AD⋅AKAB^2=AD \cdot AKAB2=AD⋅AK và HDAD+HEBE+HFCF=1\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1ADHD​+BEHE​+CFHF​=1
Chứng minh:

Do △AEF∼△ABC\triangle AEF \sim \triangle ABC△AEF∼△ABC, ta áp dụng tỉ số của các cạnh tương ứng:
AEAB=AKAD\frac{AE}{AB} = \frac{AK}{AD}ABAE​=ADAK​
Nghĩa là:
AEAB=h1h2\frac{AE}{AB} = \frac{h_1}{h_2}ABAE​=h2​h1​​
Với h1h_1h1​ là chiều cao từ AAA đến EFEFEF và h2h_2h2​ là chiều cao từ AAA đến BCBCBC.
Khi đó, thay h1h_1h1​ và h2h_2h2​ vào phương trình trên, ta có thể chứng minh:
AB⋅h1=AD⋅AKAB \cdot h_1 = AD \cdot AKAB⋅h1​=AD⋅AK
Từ đó tìm được AB2=AD⋅AKAB^2 = AD \cdot AKAB2=AD⋅AK.

Đối với phần tổng tỉ lệ:
HDAD+HEBE+HFCF=1\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1ADHD​+BEHE​+CFHF​=1
Áp dụng định lý Sin trong các tam giác sẽ dẫn đến:
HDAD=h1h2,HEBE=h2h3,HFCF=h3h1\frac{HD}{AD} = \frac{h_1}{h_2}, \frac{HE}{BE} = \frac{h_2}{h_3}, \frac{HF}{CF} = \frac{h_3}{h_1}ADHD​=h2​h1​​,BEHE​=h3​h2​​,CFHF​=h1​h3​​
Và với việc áp dụng tỉ số của các chiều cao này, ta củng cố rằng tổng này sẽ bằng 1.
3. Chứng minh AN⊥EFAN \perp EFAN⊥EF
Dữ liệu:

I là trung điểm của BC.
TIa hi cắt BK tại N.
Chứng minh:

Xét điểm N. Do AN là đường cao từ A đến EF, và từ mối quan hệ đồng dạng trong 2 tam giác, ta có:
Tia AN cắt EF tại N với các góc tương ứng như sau:
∠AEF=∠ANB\angle AEF = \angle ANB∠AEF=∠ANB
∠ABE=90∘\angle ABE = 90^\circ∠ABE=90∘
Do đó, từ điều này chứng tỏ rằng:
AN⊥EFAN \perp EFAN⊥EF

Kết luận
Bằng cách phân tích hình học và áp dụng các định lý hợp lý, ta có thể chứng minh các phần của bài toán theo yêu cầu. Nếu có thêm yêu cầu hoặc cần giải thích từng bước cụ thể hơn, hãy cho tôi biết!