Để giải bài toán này, trước hết ta cần tính tích phân I=∫24[xf(x)]′ dxI = \int_2^4 [x f(x)]' \, dxI=∫24​[xf(x)]′dx.

Theo định lý cơ bản của tích phân, ta có:

∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)\int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a)∫ab​f′(x)dx=f(b)−f(a)

Áp dụng vào bài toán, ta thay f′(x)f'(x)f′(x) bằng [xf(x)]′[x f(x)]'[xf(x)]′:

I=∫24[xf(x)]′ dx=[xf(x)]∣24I = \int_2^4 [x f(x)]' \, dx = [x f(x)] \bigg|_2^4I=∫24​[xf(x)]′dx=[xf(x)]​24​

Bây giờ ta cần tính giá trị [xf(x)]∣24[x f(x)] \bigg|_2^4[xf(x)]​24​:

[xf(x)]∣24=4f(4)−2f(2)[x f(x)] \bigg|_2^4 = 4 f(4) - 2 f(2)[xf(x)]​24​=4f(4)−2f(2)

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng phương trình đã cho trong bài toán:

f(x)+xf′(x)=6x2+2x+1f(x) + x f'(x) = 6x^2 + 2x + 1f(x)+xf′(x)=6x2+2x+1

Từ đây, ta có thể tìm xf′(x)xf'(x)xf′(x) bằng cách biến đổi phương trình, cụ thể là:

xf′(x)=6x2+2x+1−f(x)x f'(x) = 6x^2 + 2x + 1 - f(x)xf′(x)=6x2+2x+1−f(x)

Bây giờ, để tìm tích phân III, ta sẽ sử dụng bí quyết đặt f(x)f(x)f(x) từ phương trình này.

Bước 1: Giải phương trình cho f(x)f(x)f(x)
Dễ dàng thấy rằng:

xf′(x)=6x2+2x+1−f(x)xf'(x) = 6x^2 + 2x + 1 - f(x)xf′(x)=6x2+2x+1−f(x)

Khi lấy đạo hàm của xf(x)xf(x)xf(x):

f(x)+xf′(x)f(x) + x f'(x)f(x)+xf′(x)

Và từ đó ta thay vào phương trình, ta có thể giải phương trình này để tìm f(x)f(x)f(x).

Bước 2: Tính toán cụ thể
Thay vào xf′(x)=6x2+2x+1−f(x)xf'(x) = 6x^2 + 2x + 1 - f(x)xf′(x)=6x2+2x+1−f(x):

Từ đây ta có:

Giả sử f(x)=6x2+2x+1−xf′(x)f(x) = 6x^2 + 2x + 1 - x f'(x)f(x)=6x2+2x+1−xf′(x)
Hoàn thành phương trình để tính:
Thiết lập tích phân III:

I=[xf(x)]∣24=4f(4)−2f(2)I = [x f(x)] \bigg|_2^4 = 4 f(4) - 2 f(2)I=[xf(x)]​24​=4f(4)−2f(2)

Bước 3: Xác định f(2)f(2)f(2) và f(4)f(4)f(4)
khi x=2x = 2x=2:
f(2)+2f′(2)=6(22)+2(2)+1=24+4+1=29f(2) + 2f'(2) = 6(2^2) + 2(2) + 1 = 24 + 4 + 1 = 29f(2)+2f′(2)=6(22)+2(2)+1=24+4+1=29

khi x=4x = 4x=4:
f(4)+4f′(4)=6(42)+2(4)+1=96+8+1=105f(4) + 4f'(4) = 6(4^2) + 2(4) + 1 = 96 + 8 + 1 = 105f(4)+4f′(4)=6(42)+2(4)+1=96+8+1=105

Bước 4: Tính tích phân
Giá trị của [xf(x)]∣24[x f(x)] \bigg|_2^4[xf(x)]​24​:

=4f(4)−2f(2)= 4f(4) - 2f(2)=4f(4)−2f(2)

Thay các giá trị vào:

Giả sử f(4)=29f(4) = 29f(4)=29 và f(2)=105f(2) = 105f(2)=105
Cuối cùng:

I=∫24[xf(x)]′dx=4(105)−2(29)=420−58=362I = \int_2^4 [x f(x)]' dx = 4(105) - 2(29) = 420 - 58 = 362I=∫24​[xf(x)]′dx=4(105)−2(29)=420−58=362

Kết luận
Tích phân III sẽ là 362362362.

Do đó, kết quả cuối cùng:

362\boxed{362}362​