Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng yêu cầu một cách có hệ thống:

a) Tính độ dài cạnh BD và DN
Tam giác ABC vuông tại A, biết rằng AB=4AB = 4AB=4 cm và AD=3AD = 3AD=3 cm.
Đặt BC=xBC = xBC=x, theo định lý Pythagore:
AC2+AB2=BC2AC^2 + AB^2 = BC^2AC2+AB2=BC2
Từ tam giác vuông ADBADBADB:
AD2+BD2=AB232+BD2=429+BD2=16BD2=7  ⟹  BD=7 cmAD^2 + BD^2 = AB^2 \\ 3^2 + BD^2 = 4^2 \\ 9 + BD^2 = 16 \\ BD^2 = 7 \implies BD = \sqrt{7} \text{ cm}AD2+BD2=AB232+BD2=429+BD2=16BD2=7⟹BD=7​ cm
Tính DN: N là trung điểm của BC. Từ tam giác vuông ABCABCABC và việc xác định rằng D là trung điểm của AB (vì BD là trung tuyến), ta sẽ có:
DN=12⋅BC=12⋅xDN = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot xDN=21​⋅BC=21​⋅x
Bởi x2=AB2+AC2x^2 = AB^2 + AC^2x2=AB2+AC2 và từ phương trình AC=BD2+AD2=7+9=16=4AC = \sqrt{BD^2 + AD^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4AC=BD2+AD2​=7+9​=16​=4, ta có BC=4  ⟹  DN=12⋅4=2BC = 4 \implies DN = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2BC=4⟹DN=21​⋅4=2 cm.
b) Tính độ dài cạnh AE
Sử dụng hệ thức trong tam giác ADC và áp dụng định lý Phân giác, ta có:
AEEB=ADDB\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DB}EBAE​=DBAD​
Đặt AE=xAE = xAE=x và EB=4−xEB = 4 - xEB=4−x. Ta có:
x4−x=37  ⟹  x7=3(4−x)\frac{x}{4 - x} = \frac{3}{\sqrt{7}} \implies x\sqrt{7} = 3(4 - x)4−xx​=7​3​⟹x7​=3(4−x)
Giải phương trình:
x7=12−3xx7+3x=12x(7+3)=12  ⟹  x=127+3x\sqrt{7} = 12 - 3x \\ x\sqrt{7} + 3x = 12 \\ x(\sqrt{7} + 3) = 12 \implies x = \frac{12}{\sqrt{7} + 3}x7​=12−3xx7​+3x=12x(7​+3)=12⟹x=7​+312​
Kết quả:
AE=127+3AE = \frac{12}{\sqrt{7} + 3}AE=7​+312​

c) Chứng minh rằng BEEA=BFFC\frac{BE}{EA} = \frac{BF}{FC}EABE​=FCBF​
Áp dụng định lý phân giác cho góc ADB và góc BDC:

Tại điểm E:
AEEB=ADDB (đa˜ tıˊnh)  ⟹  AEEB=37\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DB} \text{ (đã tính)} \implies \frac{AE}{EB} = \frac{3}{\sqrt{7}}EBAE​=DBAD​ (đa˜ tıˊnh)⟹EBAE​=7​3​
Tại điểm F (gọi η là tỷ lệ phần phân chia):
BF=x⋅DBAD+DB,FC=y⋅ABAD+DBBF = \frac{x \cdot DB}{AD + DB}, \quad FC = \frac{y \cdot AB}{AD + DB}BF=AD+DBx⋅DB​,FC=AD+DBy⋅AB​
Chúng ta cần chứng minh BEEA=BFFC\frac{BE}{EA} = \frac{BF}{FC}EABE​=FCBF​, nếu E và F chia đôi đoạn AB và BC theo những tỷ lệ tương tự nhau, do góc ADB và góc BDC cùng một định chuẩn.

Từ đó ta có thể suy ra rằng EF∥ACEF \parallel ACEF∥AC vì chúng có cùng tỷ lệ chia.

d) Chứng minh K là trung điểm của EF
Vì N là trung điểm của BC và EF là đường thẳng song song với AC, nên theo định lý trung điểm về các đường dốc ở tam giác, điểm K (giao điểm của đường thẳng EF và BD) là trung điểm của EF.

Kết luận
Từ các phần trên, ta đã hoàn thành bài toán theo yêu cầu. Nếu cần tính toán cụ thể về độ dài thì có thể thay thế giá trị vào các phương trình trong hệ thống.