Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta cần áp dụng các định lý về hình học, đặc biệt là định lý đồng dạng và các tính chất của tam giác. Dưới đây là chi tiết các chứng minh theo từng yêu cầu.

Đề bài
Cho tam giác ABCABCABC nhọn với AB<ACAB < ACAB<AC, có các đường cao AMAMAM và CKCKCK (với MMM thuộc BCBCBC và KKK thuộc ABABAB). Gọi giao điểm của AMAMAM và CKCKCK là HHH.

a) Chứng minh: tam giác AMB∼CKBAMB \sim CKBAMB∼CKB và AM⋅KB=MB⋅CKAM \cdot KB = MB \cdot CKAM⋅KB=MB⋅CK
Chứng minh sự đồng dạng AMB∼CKBAMB \sim CKBAMB∼CKB:

Trong tam giác AMBAMBAMB và tam giác CKBCKBCKB, chúng ta áp dụng điều kiện góc giữa hai tam giác như sau:

Góc AMH=CKHAMH = CKHAMH=CKH (hai góc này đều bằng góc vuông vì AMAMAM và CKCKCK là đường cao)
Góc ABM=CBKABM = CBKABM=CBK (góc này chung)
Từ đó, ta suy ra AMB∼CKBAMB \sim CKBAMB∼CKB (góc-góc-góc).
Chứng minh AM⋅KB=MB⋅CKAM \cdot KB = MB \cdot CKAM⋅KB=MB⋅CK:

Theo định lý đồng dạng, ta có:
AMCK=MBKB\frac{AM}{CK} = \frac{MB}{KB}CKAM​=KBMB​

Suy ra:
AM⋅KB=MB⋅CKAM \cdot KB = MB \cdot CKAM⋅KB=MB⋅CK
b) Chứng minh: AK⋅MH=KH⋅CMAK \cdot MH = KH \cdot CMAK⋅MH=KH⋅CM
Chứng minh AK⋅MH=KH⋅CMAK \cdot MH = KH \cdot CMAK⋅MH=KH⋅CM:

Lập các tỉ số từ các tam giác đã chứng minh ở phần a:

Trong tam giác AHKAHKAHK và tam giác MHCMHCMHC:

Góc AHK=MHCAHK = MHCAHK=MHC (cùng bằng góc vuông)
Góc AKH=CMHAKH = CMHAKH=CMH (cùng là góc đối diện với cạnh chung HKHKHK)
Do đó, ta có đồng dạng hai tam giác AHK∼MHCAHK \sim MHCAHK∼MHC:

Áp dụng tỉ số:
AKMH=KHCM\frac{AK}{MH} = \frac{KH}{CM}MHAK​=CMKH​

Đưa ra:
AK⋅MH=KH⋅CMAK \cdot MH = KH \cdot CMAK⋅MH=KH⋅CM
c) Chứng minh: AH⋅AM+CH⋅CK=AC2AH \cdot AM + CH \cdot CK = AC^2AH⋅AM+CH⋅CK=AC2
Chứng minh AH⋅AM+CH⋅CK=AC2AH \cdot AM + CH \cdot CK = AC^2AH⋅AM+CH⋅CK=AC2:

Xét tam giác AHCAHCAHC:

Tương tự như trước, xét tam giác AHKAHKAHK và HCKHCKHCK, chúng ta có
Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông:
AC2=AH2+HC2AC^2 = AH^2 + HC^2AC2=AH2+HC2

Từ tam giác vuông AHMAHMAHM và CHKCHKCHK:
AH2=AM⋅AKAH^2 = AM \cdot AKAH2=AM⋅AK
HC2=CK⋅CMHC^2 = CK \cdot CMHC2=CK⋅CM
Từ đó, ta tiến hành cộng hai đẳng thức trên:
AM⋅AK+CK⋅CM=AC2AM \cdot AK + CK \cdot CM = AC^2AM⋅AK+CK⋅CM=AC2
Cuối cùng, ta có thể suy ra:
AH⋅AM+CH⋅CK=AC2AH \cdot AM + CH \cdot CK = AC^2AH⋅AM+CH⋅CK=AC2
Kết luận:
Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong các yêu cầu a, b, c trong bài toán cho tam giác ABCABCABC với các đường cao.