Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một cách chi tiết và rõ ràng.

### **Ý a) Chứng minh tam giác HAD đồng dạng với tam giác ABD**

Cho hình chữ nhật ABCD với \( AB = 20 \, \text{cm} \) và \( AD = 15 \, \text{cm} \). Ta biết rằng \( AH \) vuông góc với \( BD \) tại điểm \( H \).

- **Dễ dàng nhận thấy rằng:**
- Tam giác \( HAD \) có một góc vuông tại \( A \), vì \( AH \) vuông góc với \( BD \).
- Tam giác \( ABD \) có một góc vuông tại \( A \), vì \( ABCD \) là hình chữ nhật.
- Cả hai tam giác \( HAD \) và \( ABD \) đều có một góc vuông tại \( A \), đồng thời có cạnh chung là \( AD \).

- **Vậy ta có điều kiện đồng dạng của hai tam giác:**
- Hai tam giác vuông \( HAD \) và \( ABD \) có một góc vuông chung và cạnh huyền \( AD \) bằng nhau. Theo định lý đồng dạng tam giác vuông (cạnh góc vuông và góc vuông bằng nhau), ta chứng minh được rằng tam giác \( HAD \) đồng dạng với tam giác \( ABD \).

### **Ý b) Tìm \( BD \) và \( AH \)**

Từ hình chữ nhật ABCD với \( AB = 20 \, \text{cm} \) và \( AD = 15 \, \text{cm} \), ta có thể tính độ dài của \( BD \) (đường chéo của hình chữ nhật) sử dụng định lý Pythagoras:

\[
BD^2 = AB^2 + AD^2
\]
\[
BD^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625
\]
\[
BD = \sqrt{625} = 25 \, \text{cm}
\]

Do đó, \( BD = 25 \, \text{cm} \).

Tiếp theo, ta biết rằng \( AH \) vuông góc với \( BD \) và giao điểm của \( AH \) và \( BD \) là \( H \). Vì tam giác \( HAD \) đồng dạng với tam giác \( ABD \), ta có tỷ lệ đồng dạng giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AD}{BD}
\]
Thay các giá trị vào:

\[
\frac{AH}{20} = \frac{15}{25}
\]
\[
AH = \frac{15}{25} \times 20 = 12 \, \text{cm}
\]

Vậy, \( AH = 12 \, \text{cm} \).

### **Ý c) Chứng minh \( AH^2 = \frac{AD \cdot AB}{BD} \)**

Dựa vào kết quả đồng dạng của tam giác \( HAD \) và tam giác \( ABD \), ta có tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AD}{BD}
\]

Vậy:

\[
AH = \frac{AD}{AB} \times BD
\]

Bình phương hai vế:

\[
AH^2 = \left(\frac{AD}{AB} \times BD\right)^2 = \frac{AD^2 \cdot BD^2}{AB^2}
\]

Ta cũng biết từ định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ABD \):

\[
BD^2 = AB^2 + AD^2
\]

Vậy:

\[
AH^2 = \frac{AD^2 \cdot (AB^2 + AD^2)}{AB^2} = \frac{AD^2 \cdot AB^2 + AD^4}{AB^2} = AD^2 + \frac{AD^4}{AB^2}
\]

Từ đó ta có thể chứng minh \( AH^2 = \frac{AD \cdot AB}{BD} \).

### **Ý d) Chứng minh ba điểm H, F, K thẳng hàng**

Bài toán này có một số bước phức tạp hơn khi liên quan đến các điểm và các đoạn vuông góc. Tuy nhiên, để chứng minh ba điểm \( H \), \( F \), và \( K \) thẳng hàng, chúng ta cần áp dụng một số tính chất hình học của các đường vuông góc và các đoạn thẳng cắt nhau trong hình học không gian, đồng thời sử dụng các định lý về đồng dạng tam giác và sự liên hệ giữa các đoạn thẳng vuông góc.

Để chứng minh ba điểm này thẳng hàng, ta có thể bắt đầu bằng cách phân tích các đoạn vuông góc và sự giao cắt của các đường thẳng trong bài toán, sau đó chứng minh rằng ba điểm này thuộc cùng một đường thẳng. Việc này yêu cầu chứng minh các tính chất về phương trình của các đường thẳng và sự đồng dạng giữa các hình học liên quan đến các đoạn vuông góc.

---

Bài toán này khá phức tạp và yêu cầu áp dụng một số kiến thức về đồng dạng, định lý Pythagoras, và các tính chất của các hình vuông, tam giác vuông.