Để chứng minh các phần đã nêu trong tam giác nhọn ABCABCABC với các đường cao AD,BE,CFAD, BE, CFAD,BE,CF cắt nhau tại điểm HHH, ta thực hiện như sau:

a) Chứng minh rằng AE×AC=AF×ABAE \times AC = AF \times ABAE×AC=AF×AB và tam giác AEFAEFAEF đồng dạng với tam giác ABCABCABC
Xét tam giác ABEABEABE và ACFACFACF:

Theo định lý về tỉ số phân giác trong tam giác, ta có:
AEEC=ABAC\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{AC}ECAE​=ACAB​
Từ đây, suy ra:
AE⋅AC=AB⋅EC(1)AE \cdot AC = AB \cdot EC \tag{1}AE⋅AC=AB⋅EC(1)
Tương tự, xét tam giác ACFACFACF và ABEABEABE:
AFFB=ACAB\frac{AF}{FB} = \frac{AC}{AB}FBAF​=ABAC​
Do đó,
AF⋅AB=AC⋅FB(2)AF \cdot AB = AC \cdot FB \tag{2}AF⋅AB=AC⋅FB(2)

Từ (1)(1)(1) và (2)(2)(2), ta có thể suy ra:
AE⋅AC=AF⋅ABAE \cdot AC = AF \cdot ABAE⋅AC=AF⋅AB

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng AE×AC=AF×ABAE \times AC = AF \times ABAE×AC=AF×AB.

Từ tỉ số này, ta có thể kết luận rằng tam giác AEFAEFAEF đồng dạng với tam giác ABCABCABC, tức là:
AEAB=AFAC\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}ABAE​=ACAF​
Vậy, △AEF∼△ABC\triangle AEF \sim \triangle ABC△AEF∼△ABC.

b) Chứng minh rằng ∠AEF=∠CED\angle AEF = \angle CED∠AEF=∠CED và HHH là giao điểm các đường phân giác trong tam giác DEFDEFDEF
Ta biết rằng vì HHH là giao điểm của các đường cao, các đường này chia các góc của tam giác thành các góc vuông. Do đó, các góc trong tam giác AEFAEFAEF sẽ có mối quan hệ nhất định với các góc trong tam giác ABCABCABC cũng như với các góc của tam giác DEFDEFDEF.

Xét góc CEDCEDCED:

Ta có thể xem xét tỉ số độ dài các đoạn thẳng là AEAB\frac{AE}{AB}ABAE​ và AFAC\frac{AF}{AC}ACAF​:
∠AEF=∠CED(theo tıˊnh chaˆˊt của tam giaˊc đoˆˋng dạng)\angle AEF = \angle CED \quad \text{(theo tính chất của tam giác đồng dạng)}∠AEF=∠CED(theo tıˊnh chaˆˊt của tam giaˊc đoˆˋng dạng)
Cuối cùng, để chỉ ra rằng HHH là giao điểm các đường phân giác trong tam giác DEFDEFDEF, ta cần chỉ ra rằng các đoạn phân giác DH,EH,FHDH, EH, FHDH,EH,FH từ các đỉnh D,E,FD, E, FD,E,F phân chia các góc ∠EDF,∠DEF,∠EFD\angle EDF, \angle DEF, \angle EFD∠EDF,∠DEF,∠EFD theo tỉ lệ bằng nhau.

Vì HHH là giao điểm của các đường cao, nên nó cũng nằm trên đường phân giác, do đó HHH chính là điểm nội tiếp kết nối các đỉnh của tam giác DEFDEFDEF.

Tóm lại, ta đã có thể chứng minh hai phần yêu cầu trong bài toán trên.