Cho hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \) có cạnh \( a \). Chúng ta cần tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (A'BC) \).

Giả sử hình lập phương được đặt trong hệ trục tọa độ \( Oxyz \) như sau:
- \( A(0,0,0) \)
- \( B(a,0,0) \)
- \( C(a,a,0) \)
- \( A'(0,0,a) \)

Mặt phẳng \( (A'BC) \) được xác định bởi ba điểm \( A', B, C \).

Phương trình mặt phẳng có dạng:
\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]
Ta tìm véc-tơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai véc-tơ trong mặt phẳng:
- \( \overrightarrow{A'B} = (a,0,-a) \)
- \( \overrightarrow{A'C} = (a,a,-a) \)

Tích có hướng:
\[
\overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'C} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a & 0 & -a \\
a & a & -a
\end{vmatrix}
\]
\[
= \mathbf{i} (0 \cdot (-a) - (-a) \cdot a) - \mathbf{j} (a \cdot (-a) - (-a) \cdot a) + \mathbf{k} (a \cdot a - 0 \cdot a)
\]
\[
= \mathbf{i} (a^2) - \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (a^2)
\]
\[
= (a^2, 0, a^2)
\]

Vậy véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là \( (a^2, 0, a^2) \), nên phương trình mặt phẳng là:
\[
a^2 x + a^2 z + D = 0
\]

Thay \( A'(0,0,a) \) vào phương trình:
\[
a^2 (0) + a^2 (a) + D = 0
\]
\[
a^3 + D = 0 \Rightarrow D = -a^3
\]

Vậy phương trình mặt phẳng là:
\[
a^2 x + a^2 z - a^3 = 0
\]

Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) là:
\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]

Thay \( A = a^2 \), \( B = 0 \), \( C = a^2 \), \( D = -a^3 \), và tọa độ \( A(0,0,0) \):

\[
d = \frac{|a^2 (0) + 0(0) + a^2 (0) - a^3|}{\sqrt{(a^2)^2 + 0^2 + (a^2)^2}}
\]

\[
= \frac{|-a^3|}{\sqrt{a^4 + a^4}}
\]

\[
= \frac{a^3}{\sqrt{2a^4}}
\]

\[
= \frac{a^3}{a^2 \sqrt{2}}
\]

\[
= \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\]

Khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (A'BC) \) là:
\[
\frac{a\sqrt{2}}{2}
\]

Để tính khoảng cách từ điểm AAA đến mặt phẳng A′BCA'BCA′BC của hình lập phương, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Thiết lập tọa độ
Giả sử hình lập phương ABCDABCDABCD và A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′ nằm trong hệ tọa độ 3 chiều như sau:

Điểm A(0,0,0)A(0, 0, 0)A(0,0,0)
Điểm B(a,0,0)B(a, 0, 0)B(a,0,0)
Điểm C(a,a,0)C(a, a, 0)C(a,a,0)
Điểm D(0,a,0)D(0, a, 0)D(0,a,0)
Điểm A′(0,0,a)A'(0, 0, a)A′(0,0,a)
Điểm B′(a,0,a)B'(a, 0, a)B′(a,0,a)
Điểm C′(a,a,a)C'(a, a, a)C′(a,a,a)
Điểm D′(0,a,a)D'(0, a, a)D′(0,a,a)
2. Tìm phương trình mặt phẳng A′BCA'BCA′BC
Mặt phẳng A′BCA'BCA′BC được xác định bởi ba điểm A′A'A′, BBB, và CCC:

A′(0,0,a)A'(0, 0, a)A′(0,0,a)
B(a,0,0)B(a, 0, 0)B(a,0,0)
C(a,a,0)C(a, a, 0)C(a,a,0)
Để tìm phương trình của mặt phẳng A′BCA'BCA′BC, chúng ta cần xác định hai vector nằm trong mặt phẳng này. Ta sẽ sử dụng vector từ A′A'A′ đến BBB và từ A′A'A′ đến CCC:

Vector A′B→=B−A′=(a,0,0)−(0,0,a)=(a,0,−a)\overrightarrow{A'B} = B - A' = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a)A′B=B−A′=(a,0,0)−(0,0,a)=(a,0,−a)
Vector A′C→=C−A′=(a,a,0)−(0,0,a)=(a,a,−a)\overrightarrow{A'C} = C - A' = (a, a, 0) - (0, 0, a) = (a, a, -a)A′C=C−A′=(a,a,0)−(0,0,a)=(a,a,−a)
3. Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng
Ta tính tích có hướng của hai vector A′B→\overrightarrow{A'B}A′B và A′C→\overrightarrow{A'C}A′C:

A′B→×A′C→=∣ijka0−aaa−a∣=i(0⋅(−a)−a⋅(−a))−j(a⋅(−a)−a⋅(−a))+k(a⋅a−0⋅a)\overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -a \\ a & a & -a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-a) - a \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot (-a) - a \cdot (-a)) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a)A′B×A′C=​iaa​j0a​k−a−a​​=i(0⋅(−a)−a⋅(−a))−j(a⋅(−a)−a⋅(−a))+k(a⋅a−0⋅a)
=i(0+a2)−j(−a2+a2)+k(a2)=(a2,0,a2)= \mathbf{i}(0 + a^2) - \mathbf{j}( - a^2 + a^2) + \mathbf{k}(a^2) = (a^2, 0, a^2)=i(0+a2)−j(−a2+a2)+k(a2)=(a2,0,a2)

4. Phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng đi qua điểm A′(0,0,a)A'(0, 0, a)A′(0,0,a) có phương trình:

a2(x−0)+0(y−0)+a2(z−a)=0a^2(x - 0) + 0(y - 0) + a^2(z - a) = 0a2(x−0)+0(y−0)+a2(z−a)=0

Phương trình trở thành:

a2x+a2z−a3=0(hay x+z−a=0)a^2 x + a^2 z - a^3 = 0 \quad \text{(hay } x + z - a = 0\text{)}a2x+a2z−a3=0(hay x+z−a=0)

5. Tính khoảng cách từ AAA đến mặt phẳng
Khoảng cách ddd từ điểm A(0,0,0)A(0, 0, 0)A(0,0,0) đến mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0Ax+By+Cz+D=0 được tính bằng công thức:

d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}d=A2+B2+C2​∣Ax0​+By0​+Cz0​+D∣​

Trong trường hợp này, ta có:

A=1A = 1A=1
B=0B = 0B=0
C=1C = 1C=1
D=−aD = -aD=−a
Áp dụng công thức, ta có (x0,y0,z0)=(0,0,0)(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)(x0​,y0​,z0​)=(0,0,0):

d=∣1⋅0+0⋅0+1⋅0−a∣12+02+12=∣−a∣2=a2d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}d=12+02+12​∣1⋅0+0⋅0+1⋅0−a∣​=2​∣−a∣​=2​a​

Kết luận
Khoảng cách từ điểm A(0,0,0)A(0, 0, 0)A(0,0,0) đến mặt phẳng A′BCA'BCA′BC là:

d=a2d = \frac{a}{\sqrt{2}}d=2​a​

Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc có câu hỏi khác, đừng ngần ngại hỏi nhé!