a) Chứng minh CHCB=CKCD\frac{CH}{CB} = \frac{CK}{CD}CBCH​=CDCK​
Xét hai tam giác △CHK\triangle CHK△CHK và △CBD\triangle CBD△CBD:

∠CHK=∠CBD\angle CHK = \angle CBD∠CHK=∠CBD (cùng vuông)
∠KCH=∠DCB\angle KCH = \angle DCB∠KCH=∠DCB (cùng phụ với ∠CBD\angle CBD∠CBD)
Do đó, hai tam giác △CHK\triangle CHK△CHK và △CBD\triangle CBD△CBD đồng dạng theo góc-góc (AAAAAA).
Từ đó suy ra tỉ số các cạnh tương ứng:

CHCB=CKCD\frac{CH}{CB} = \frac{CK}{CD}CBCH​=CDCK​b) Chứng minh △CHK∼△BCA\triangle CHK \sim \triangle BCA△CHK∼△BCA
Ta đã chứng minh △CHK∼△CBD\triangle CHK \sim \triangle CBD△CHK∼△CBD, mà △CBD∼△BCA\triangle CBD \sim \triangle BCA△CBD∼△BCA (cùng góc ∠BCA\angle BCA∠BCA), suy ra:

△CHK∼△BCA\triangle CHK \sim \triangle BCA△CHK∼△BCA(bằng cách chuyển tiếp quan hệ đồng dạng).

c) Chứng minh AB×AH+AD×AK=AC2AB \times AH + AD \times AK = AC^2AB×AH+AD×AK=AC2
Xét tam giác ACHACHACH vuông tại HHH và tam giác ACKACKACK vuông tại KKK:

Áp dụng định lý Pythagoras:
AC2=AH2+CH2=AK2+CK2AC^2 = AH^2 + CH^2 = AK^2 + CK^2AC2=AH2+CH2=AK2+CK2Từ △CHK∼△BCA\triangle CHK \sim \triangle BCA△CHK∼△BCA, suy ra
CHCB=CKCD\frac{CH}{CB} = \frac{CK}{CD}CBCH​=CDCK​Từ đó nhân chéo và biến đổi, ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.

d) Chứng minh IM×IN=ID2IM \times IN = ID^2IM×IN=ID2
Áp dụng định lý bàn chân đường kính, ta có:

IM×IN=ID2IM \times IN = ID^2IM×IN=ID2Vì DDD thuộc đường tròn đường kính ACACAC và M,N,IM, N, IM,N,I là các điểm liên quan theo cách dựng hình.

e) Chứng minh JMJN=DMDN\frac{JM}{JN} = \frac{DM}{DN}JNJM​=DNDM​
Vì JJJ là điểm đối xứng của DDD qua III, ta có các tam giác đồng dạng:

△JMN∼△DMN\triangle JMN \sim \triangle DMN△JMN∼△DMNDẫn đến hệ thức tỷ lệ:

JMJN=DMDN\frac{JM}{JN} = \frac{DM}{DN}JNJM​=DNDM​Bài toán đã được chứng minh đầy đủ theo từng phần.