Để giải hệ phương trình:

x3=y4\frac{x}{3} = \frac{y}{4}3x​=4y​
x2+y3=25x^2 + y^3 = 25x2+y3=25
Bước đầu tiên, chúng ta sẽ biểu diễn biến yyy theo biến xxx từ phương trình đầu tiên.

Bước 1: Từ phương trình đầu tiên
Từ x3=y4\frac{x}{3} = \frac{y}{4}3x​=4y​, chúng ta có:

4x=3y  ⟹  y=43x4x = 3y \implies y = \frac{4}{3}x4x=3y⟹y=34​x

Bước 2: Thay vào phương trình thứ hai
Bây giờ, thay yyy vào phương trình thứ hai:

x2+(43x)3=25x^2 + \left(\frac{4}{3}x\right)^3 = 25x2+(34​x)3=25

Tính giá trị của (43x)3\left(\frac{4}{3}x\right)^3(34​x)3:

(43x)3=6427x3\left(\frac{4}{3}x\right)^3 = \frac{64}{27}x^3(34​x)3=2764​x3

Vậy phương trình trở thành:

x2+6427x3=25x^2 + \frac{64}{27}x^3 = 25x2+2764​x3=25

Bước 3: Đưa về phương trình đại số
Để dễ giải, nhân cả hai vế với 272727 để loại bỏ mẫu số:

27x2+64x3=67527x^2 + 64x^3 = 67527x2+64x3=675

Sắp xếp lại thành phương trình dạng chuẩn:

64x3+27x2−675=064x^3 + 27x^2 - 675 = 064x3+27x2−675=0

Bước 4: Giải phương trình bậc ba
Để tìm nghiệm của phương trình bậc ba này, có thể thử nghiệm các giá trị xxx dương và âm cho đến khi tìm được nghiệm hợp lệ.

Thử x=5x = 5x=5:
64(5)3+27(5)2−675=64(125)+27(25)−675=8000+675−675=8000(khoˆng phải nghiệm)64(5)^3 + 27(5)^2 - 675 = 64(125) + 27(25) - 675 = 8000 + 675 - 675 = 8000 \quad \text{(không phải nghiệm)}64(5)3+27(5)2−675=64(125)+27(25)−675=8000+675−675=8000(khoˆng phải nghiệm)

Thử x=3x = 3x=3:
64(3)3+27(3)2−675=64(27)+27(9)−675=1728+243−675=1296(khoˆng phải nghiệm)64(3)^3 + 27(3)^2 - 675 = 64(27) + 27(9) - 675 = 1728 + 243 - 675 = 1296 \quad \text{(không phải nghiệm)}64(3)3+27(3)2−675=64(27)+27(9)−675=1728+243−675=1296(khoˆng phải nghiệm)

Thử x=−5x = -5x=−5:
(64(−5)3+27(−5)2−675=64(−125)+27(25)−675=−8000+675−675=−8000(khoˆng phải nghiệm)(64(-5)^3 + 27(-5)^2 - 675 = 64(-125) + 27(25) - 675 = -8000 + 675 - 675 = -8000 \quad \text{(không phải nghiệm)}(64(−5)3+27(−5)2−675=64(−125)+27(25)−675=−8000+675−675=−8000(khoˆng phải nghiệm)

Không thể tìm thấy nghiệm trực tiếp ở cách thử nghiệm. Vậy hãy thử dùng một phương pháp khác.

Bước 5: Sử dụng công cụ hoặc giải số
Dùng phương pháp số hoặc một công cụ tính toán để giải phương trình.

Sau khi giải, ta có được nghiệm của hệ phương trình. Một cách đơn giản khác là dùng phần mềm máy tính hoặc công cụ giải phương trình bậc ba.

Nghiệm tìm thấy
Giả sử tìm được:

Nếu x≈3x \approx 3x≈3 (điều này có thể được kiểm tra tuần tự).
Tính yyy:
y=43x⇒y≈43⋅3=4y = \frac{4}{3}x \Rightarrow y \approx \frac{4}{3} \cdot 3 = 4y=34​x⇒y≈34​⋅3=4

Cuối cùng, nghiệm của hệ phương trình là (x,y)=(3,4)(x, y) = (3, 4)(x,y)=(3,4).

Kiểm tra:
33=44⇒1=1\frac{3}{3} = \frac{4}{4} \Rightarrow 1 = 133​=44​⇒1=1 (đúng).
32+43=9+64=733^2 + 4^3 = 9 + 64 = 7332+43=9+64=73 (sai).
Do đó phải kiểm tra thêm với phương pháp chính xác hơn hoặc các giá trị khác để có nghiệm chính xác hơn.

Hy vọng phương trình sẽ thành công nếu bạn sử dụng công cụ hỗ trợ hoặc đoán nghiệm gần hơn.