Bước 1: Phân tích điều kiện:

ab+ac+bc=0  ⟹  ab+ac=−bcab + ac + bc = 0 \implies ab + ac = -bcab+ac+bc=0⟹ab+ac=−bcBước 2: Biểu thức cần tính:

M=aba2+b2−c2+bcb2+c2−a2+cac2+a2−b2M = \frac{ab}{a^2 + b^2 - c^2} + \frac{bc}{b^2 + c^2 - a^2} + \frac{ca}{c^2 + a^2 - b^2}M=a2+b2−c2ab​+b2+c2−a2bc​+c2+a2−b2ca​Thay điều kiện ab+ac=−bcab + ac = -bcab+ac=−bc vào, ta nhận thấy các phân số có dạng đối xứng, do đó ta có thể sử dụng phương pháp giả sử đặc biệt để tính nhanh.

Giả sử đặc biệt:
Giả sử a=1a = 1a=1, b=1b = 1b=1, c=−1c = -1c=−1.

Kiểm tra điều kiện:

ab+ac+bc=1⋅1+1⋅(−1)+1⋅(−1)=1−1−1=0ab + ac + bc = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 - 1 = 0ab+ac+bc=1⋅1+1⋅(−1)+1⋅(−1)=1−1−1=0Điều kiện được thỏa mãn.

Tính giá trị của M:

M=1⋅112+12−(−1)2+1⋅(−1)12+(−1)2−12+(−1)⋅1(−1)2+12−12M = \frac{1 \cdot 1}{1^2 + 1^2 - (-1)^2} + \frac{1 \cdot (-1)}{1^2 + (-1)^2 - 1^2} + \frac{(-1) \cdot 1}{(-1)^2 + 1^2 - 1^2}M=12+12−(−1)21⋅1​+12+(−1)2−121⋅(−1)​+(−1)2+12−12(−1)⋅1​ =11+1−1+−11+1−1+−11+1−1= \frac{1}{1 + 1 - 1} + \frac{-1}{1 + 1 - 1} + \frac{-1}{1 + 1 - 1}=1+1−11​+1+1−1−1​+1+1−1−1​ =11+−11+−11= \frac{1}{1} + \frac{-1}{1} + \frac{-1}{1}=11​+1−1​+1−1​ =1−1−1=−1= 1 - 1 - 1 = -1=1−1−1=−1Kết luận: Giá trị của biểu thức MMM là:

−1\boxed{-1}−1​