Rút gọn phân thức
a)
\[
\frac{x(x+3)}{x^2(3+x)}
\]
Nhận thấy \( 3 + x = x + 3 \), ta viết lại:
\[
\frac{x(x+3)}{x^2(x+3)}
\]
Rút gọn \( x+3 \) ở tử và mẫu:
\[
\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}
\]

b)
\[
\frac{48(x-5)^2}{120 - 24x}
\]
Ta phân tích mẫu số:
\[
120 - 24x = 24(5 - x) = -24(x - 5)
\]
Vậy phân thức trở thành:
\[
\frac{48(x-5)^2}{-24(x-5)}
\]
Rút gọn \( x - 5 \):
\[
\frac{48(x-5)}{-24} = -2(x-5)
\]

Quy đồng mẫu thức
a) \( \frac{2}{5x^3y^2} \) và \( \frac{3}{4xy} \)
- Mẫu chung là \( 20x^3y^2 \)
- Quy đồng:
\[
\frac{2}{5x^3y^2} = \frac{8}{20x^3y^2}
\]
\[
\frac{3}{4xy} = \frac{15x^2}{20x^3y^2}
\]

b) \( \frac{x}{x^2 - 2xy + y^2} \) và \( \frac{x}{x^2 - xy} \)
- Phân tích mẫu số:
- \( x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \)
- \( x^2 - xy = x(x - y) \)
- Mẫu chung là \( x(x - y)^2 \)
- Quy đồng:
\[
\frac{x}{(x - y)^2} = \frac{x}{x(x - y)^2} \times x = \frac{x^2}{x(x - y)^2}
\]
\[
\frac{x}{x(x - y)} = \frac{x(x - y)}{x(x - y)^2}
\]
Vậy sau khi quy đồng, ta có:
\[
\frac{x^2}{x(x - y)^2} \quad \text{và} \quad \frac{x(x - y)}{x(x - y)^2}
\]

1. Rút gọn phân thức
a. Rút gọn phân thức:
x(x+3)x2(3+x)\frac{x(x + 3)}{x^2(3 + x)}x2(3+x)x(x+3)​

Ta thấy rằng 3+x=x+33 + x = x + 33+x=x+3. Do đó, phân thức trở thành:

x(x+3)x2(x+3)\frac{x(x + 3)}{x^2(x + 3)}x2(x+3)x(x+3)​

Giờ ta có thể rút gọn x+3x + 3x+3 ở tử và mẫu:

xx2=1x(x≠0)\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \quad (x \neq 0)x2x​=x1​(x=0)

Vậy, phân thức rút gọn là:

1x(x≠0)\frac{1}{x} \quad (x \neq 0)x1​(x=0)

b. Rút gọn phân thức:
48(x−5)2120−24x\frac{48(x - 5)^2}{120 - 24x}120−24x48(x−5)2​

Trước tiên, ta biến đổi mẫu số 120−24x120 - 24x120−24x:

120−24x=24(5−x)=−24(x−5)120 - 24x = 24(5 - x) = -24(x - 5)120−24x=24(5−x)=−24(x−5)

Vậy phân thức trở thành:

48(x−5)2−24(x−5)\frac{48(x - 5)^2}{-24(x - 5)}−24(x−5)48(x−5)2​

Rút gọn:

48−24(x−5)=−2(x−5)\frac{48}{-24}(x - 5) = -2(x - 5)−2448​(x−5)=−2(x−5)

Phân thức rút gọn là:

−2(x−5)-2(x - 5)−2(x−5)

2. Quy đồng mẫu thức các phân thức
a. Quy đồng mẫu thức:

Các phân thức:
25x3y2vaˋ34xy\frac{2}{5x^3y^2} \quad \text{và} \quad \frac{3}{4xy}5x3y22​vaˋ4xy3​

Mẫu số chung:

Mẫu số chung của 5x3y25x^3y^25x3y2 và 4xy4xy4xy là 20x3y220x^3y^220x3y2.

Biến đổi từng phân thức:

Để quy đồng mẫu số phân thức thứ nhất:
25x3y2=2⋅4y20x3y2=8y20x3y2\frac{2}{5x^3y^2} = \frac{2 \cdot 4y}{20x^3y^2} = \frac{8y}{20x^3y^2}5x3y22​=20x3y22⋅4y​=20x3y28y​

Để quy đồng mẫu số phân thức thứ hai:
34xy=3⋅5x2y20x3y2=15x2y20x3y2\frac{3}{4xy} = \frac{3 \cdot 5x^2y}{20x^3y^2} = \frac{15x^2y}{20x^3y^2}4xy3​=20x3y23⋅5x2y​=20x3y215x2y​

Kết quả sau khi quy đồng mẫu:

Hai phân thức sau khi quy đồng thành:

8y20x3y2vaˋ15x2y20x3y2\frac{8y}{20x^3y^2} \quad \text{và} \quad \frac{15x^2y}{20x^3y^2}20x3y28y​vaˋ20x3y215x2y​

b. Quy đồng mẫu thức:

Các phân thức:
xx2−2xy+y2vaˋxx2−xy\frac{x}{x^2 - 2xy + y^2} \quad \text{và} \quad \frac{x}{x^2 - xy}x2−2xy+y2x​vaˋx2−xyx​

Mẫu số chung:

Mẫu số chung của x2−2xy+y2x^2 - 2xy + y^2x2−2xy+y2 và x2−xyx^2 - xyx2−xy.

x2−2xy+y2x^2 - 2xy + y^2x2−2xy+y2 có thể viết lại là (x−y)2(x - y)^2(x−y)2.
x2−xy=x(x−y)x^2 - xy = x(x - y)x2−xy=x(x−y).
Mẫu số chung cuối cùng:
Mẫu số chung là (x−y)2⋅x(x - y)^2 \cdot x(x−y)2⋅x.

Biến đổi từng phân thức:

Đối với phân thức đầu tiên:
x(x−y)2=x⋅x(x−y)2⋅x=x2x(x−y)2\frac{x}{(x - y)^2} = \frac{x \cdot x}{(x - y)^2 \cdot x} = \frac{x^2}{x(x - y)^2}(x−y)2x​=(x−y)2⋅xx⋅x​=x(x−y)2x2​
Đối với phân thức thứ hai:
xx(x−y)=x(x−y)x(x−y)(x−y)=(x−y)(x−y)(x−y)\frac{x}{x(x - y)} = \frac{x(x - y)}{x(x - y)(x - y)} = \frac{(x - y)}{(x - y)(x - y)}x(x−y)x​=x(x−y)(x−y)x(x−y)​=(x−y)(x−y)(x−y)​
Kết quả sau khi quy đồng mẫu:

Hai phân thức sau khi quy đồng mẫu trở thành:

x2(x−y)2⋅xvaˋx(x−y)(x−y)(x−y)\frac{x^2}{(x - y)^2 \cdot x} \quad \text{và} \quad \frac{x(x - y)}{(x - y)(x - y)}(x−y)2⋅xx2​vaˋ(x−y)(x−y)x(x−y)​

Kết luận:
Phân thức a: 1x\frac{1}{x}x1​
Phân thức b: −2(x−5)-2(x - 5)−2(x−5)
Sau quy đồng mẫu:a: 8y20x3y2\frac{8y}{20x^3y^2}20x3y28y​ và 15x2y20x3y2\frac{15x^2y}{20x^3y^2}20x3y215x2y​
b: x2(x−y)2x\frac{x^2}{(x - y)^2 x}(x−y)2xx2​ và (x−y)(x−y)(x−y)\frac{(x - y)}{(x - y)(x - y)}(x−y)(x−y)(x−y)​