Để chứng minh các mệnh đề trong tam giác vuông △ABC\triangle ABC△ABC với ∠A=90∘\angle A = 90^\circ∠A=90∘ và đường cao từ AAA đến cạnh BCBCBC là AHAHAH, ta sẽ sử dụng các định lý cơ bản về hình học, bao gồm định lý Pythagore và các tính chất về đường cao trong tam giác vuông.

a) Chứng minh AB2=BH⋅BCAB^2 = BH \cdot BCAB2=BH⋅BC
Xét tam giác vuông △ABH\triangle ABH△ABH:

Theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có:
AB2=AH2+BH2AB^2 = AH^2 + BH^2AB2=AH2+BH2

Xét tam giác vuông △AHC\triangle AHC△AHC:

Ta cũng áp dụng định lý Pythagore:
AC2=AH2+CH2AC^2 = AH^2 + CH^2AC2=AH2+CH2

Do đó, từ AB2AB^2AB2 và AC2AC^2AC2, ta có thể viết:

AB2=AH2+BH2AB^2 = AH^2 + BH^2AB2=AH2+BH2
AC2=AH2+CH2AC^2 = AH^2 + CH^2AC2=AH2+CH2

Từ đó, AH2AH^2AH2 có thể được thay thế.

Sau đó, chúng ta sử dụng hệ thức về đường cao AHAHAH trong tam giác vuông tại điểm A:

Áp dụng công thức AH2=BH⋅CHAH^2 = BH \cdot CHAH2=BH⋅CH.
Từ đây, kết hợp lại ta sẽ có:

AB2=BH⋅BCAB^2 = BH \cdot BCAB2=BH⋅BC

b) Chứng minh AC2=CH⋅BCAC^2 = CH \cdot BCAC2=CH⋅BC
Tương tự như phần (a), xét tam giác vuông △ACH\triangle ACH△ACH:

Theo định lý về đường cao trong tam giác vuông:
AC2=AH2+CH2AC^2 = AH^2 + CH^2AC2=AH2+CH2

Và thi hành các bước như trên, ta kết luận rằng:

AC2=CH⋅BCAC^2 = CH \cdot BCAC2=CH⋅BC

c) Chứng minh AB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2AB2+AC2=BC2
Từ (a) và (b), ta có:

AB2=BH⋅BCAB^2 = BH \cdot BCAB2=BH⋅BC
AC2=CH⋅BCAC^2 = CH \cdot BCAC2=CH⋅BC
Thay vào ta có:

AB2+AC2=BH⋅BC+CH⋅BCAB^2 + AC^2 = BH \cdot BC + CH \cdot BCAB2+AC2=BH⋅BC+CH⋅BC

Rút lại cho BCBCBC:

AB2+AC2=(BH+CH)⋅BCAB^2 + AC^2 = (BH + CH) \cdot BCAB2+AC2=(BH+CH)⋅BC

Trong tam giác △ABC\triangle ABC△ABC, có thể thấy rằng BH+CH=BCBH + CH = BCBH+CH=BC (bởi HHH là điểm nằm trên cạnh BCBCBC). Do đó, ta có:

AB2+AC2=BC⋅BCAB^2 + AC^2 = BC \cdot BCAB2+AC2=BC⋅BC

Hay:

AB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2AB2+AC2=BC2

Kết luận
Qua các bước chứng minh, ta có thể xác nhận:

a) AB2=BH⋅BCAB^2 = BH \cdot BCAB2=BH⋅BC
b) AC2=CH⋅BCAC^2 = CH \cdot BCAC2=CH⋅BC
c) AB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2AB2+AC2=BC2