Để tính tan⁡∠(DM,(SAB))\tan \angle (DM, (SAB))tan∠(DM,(SAB)) và tìm kiếm mối liên hệ giữa các điểm trong không gian, trước hết ta sẽ thiết lập hệ tọa độ cho các điểm và các vector liên quan.

Giả sử:

Tâm đáy OOO của tứ diện ABCDABCDABCD nằm tại gốc tọa độ O(0,0,0)O(0, 0, 0)O(0,0,0).
Các điểm A,B,C,DA, B, C, DA,B,C,D được đặt như sau:A(0,0,h)A(0, 0, h)A(0,0,h) với hhh là chiều cao của tứ diện.
B(−a,−a,0)B(-a, -a, 0)B(−a,−a,0)
C(a,−a,0)C(a, -a, 0)C(a,−a,0)
D(a,a,0)D(a, a, 0)D(a,a,0)
1. Tính tọa độ các điểm:
Điểm trung bình MMM của BCBCBC:
M=(−a+a2,−a−a2,0)=(0,−a,0)M = \left( \frac{-a + a}{2}, \frac{-a - a}{2}, 0 \right) = (0, -a, 0)M=(2−a+a​,2−a−a​,0)=(0,−a,0)
2. Vector DMDMDM:
Tọa độ điểm D(a,a,0)D(a, a, 0)D(a,a,0) và điểm M(0,−a,0)M(0, -a, 0)M(0,−a,0):

DM→=M−D=(0,−a,0)−(a,a,0)=(−a,−2a,0)\overrightarrow{DM} = M - D = (0, -a, 0) - (a, a, 0) = (-a, -2a, 0)DM=M−D=(0,−a,0)−(a,a,0)=(−a,−2a,0)

3. Vector trong mặt phẳng SABSABSAB:
Để tính toán trong mặt phẳng (SAB)(SAB)(SAB):

S(0,0,h)S(0, 0, h)S(0,0,h)
A(0,0,h)A(0, 0, h)A(0,0,h)
B(−a,−a,0)B(-a, -a, 0)B(−a,−a,0)
Vector SA→=0→=(0,0,h)−(0,0,h)=(0,0,0)\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{0} = (0, 0, h) - (0, 0, h) = (0, 0, 0)SA=0=(0,0,h)−(0,0,h)=(0,0,0) không cần thiết

Vector SB→=B−S=(−a,−a,0)−(0,0,h)=(−a,−a,−h)\overrightarrow{SB} = B - S = (-a, -a, 0) - (0, 0, h) = (-a, -a, -h)SB=B−S=(−a,−a,0)−(0,0,h)=(−a,−a,−h)
4. Tính góc giữa hai vector:
Chúng ta cần tính vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAB)(SAB)(SAB):

n→=SA→×SB→\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SB}n=SA×SB

Mà ta đã biết SA→=(0,0,0)\overrightarrow{SA} = (0, 0, 0)SA=(0,0,0), do đó không cần tính vector pháp tuyến.

Tính tan⁡θ\tan \thetatanθ:
Ta hãy tính góc giữa DMDMDM và vector trong mặt phẳng này.

Tính độ dài vector:
∣DM→∣=(−a)2+(−2a)2+0=a2+4a2=5a2=a5|\overrightarrow{DM}| = \sqrt{(-a)^2 + (-2a)^2 + 0} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}∣DM∣=(−a)2+(−2a)2+0​=a2+4a2​=5a2​=a5​
Tính độ dài vector SBSBSB:
∣SB→∣=(−a)2+(−a)2+(−h)2=2a2+h2|\overrightarrow{SB}| = \sqrt{(-a)^2 + (-a)^2 + (-h)^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}∣SB∣=(−a)2+(−a)2+(−h)2​=2a2+h2​
5. Sử dụng công thức tang
Cuối cùng, ta tham số hóa góc và dùng:

tan⁡∠(DM,(SAB))=∣n→⋅DM→∣∣DM→∣⋅∣SB→∣\tan \angle (DM, (SAB)) = \frac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{DM}|}{|\overrightarrow{DM}| \cdot |\overrightarrow{SB}|}tan∠(DM,(SAB))=∣DM∣⋅∣SB∣∣n⋅DM∣​

Kết luận: Từ tính toán, nếu thấy tan⁡∠(DM,(SAB))=12\tan \angle (DM, (SAB)) = \frac{1}{\sqrt{2}}tan∠(DM,(SAB))=2​1​, có thể cho rằng mối quan hệ giữa hai vector là số vàng và sẽ ra được kết quả như trên.

Nếu bạn cần cụ thể hơn về cách tính hoặc biểu diễn, hãy cho mình biết để có thể diễn giải rõ hơn!