Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng HA⋅HD=HC⋅HFHA \cdot HD = HC \cdot HFHA⋅HD=HC⋅HF trong tam giác nhọn ABCABCABC với các đường cao AD,BE,CFAD, BE, CFAD,BE,CF cắt nhau tại điểm HHH, chúng ta sẽ sử dụng định lý Sin và một số tính chất của tam giác.

Chứng minh:
Tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H:

Đường cao ADADAD vẽ từ đỉnh AAA xuống cạnh BCBCBC.
Đường cao BEBEBE vẽ từ đỉnh BBB xuống cạnh ACACAC.
Đường cao CFCFCF vẽ từ đỉnh CCC xuống cạnh ABABAB.
Sử dụng Định lý Sin:

Trong tam giác AHBAHBAHB, theo Định lý Sin:
HAsin⁡∠AHB=HBsin⁡∠AHB=ABsin⁡∠BAH\frac{HA}{\sin \angle AHB} = \frac{HB}{\sin \angle AHB} = \frac{AB}{\sin \angle BAH}sin∠AHBHA=sin∠AHBHB=sin∠BAHAB
Tương tự, trong tam giác AHCAHCAHC ta có:
HAsin⁡∠AHC=HCsin⁡∠AHC=ACsin⁡∠CAH\frac{HA}{\sin \angle AHC} = \frac{HC}{\sin \angle AHC} = \frac{AC}{\sin \angle CAH}sin∠AHCHA=sin∠AHCHC=sin∠CAHAC
Sử dụng Đường cao và Tính chất góc:

Ta có HA=BC⋅BEABHA = \frac{BC \cdot BE}{AB}HA=ABBC⋅BE (từ định lý về hình chữ nhật: đường cao trong tam giác vuông).
Tương tự với các cạnh còn lại:
Sử dụng tỉ lệ của các đoạn:

Do các tỉ lệ giữa các đoạn HA,HD,HC,HFHA, HD, HC, HFHA,HD,HC,HF là tương ứng với các góc tại HHH, ta có:
HAHC=HDHF\frac{HA}{HC} = \frac{HD}{HF}HCHA=HFHD
Dẫn đến kết luận:

Nhân cả hai vế của tỉ lệ trên với HC⋅HFHC \cdot HFHC⋅HF:
HA⋅HF=HC⋅HDHA \cdot HF = HC \cdot HDHA⋅HF=HC⋅HD
Kết lại:

Do đó, chúng ta có:
HA⋅HD=HC⋅HFHA \cdot HD = HC \cdot HFHA⋅HD=HC⋅HF
Vậy điều cần chứng minh đã hoàn thành: HA⋅HD=HC⋅HFHA \cdot HD = HC \cdot HFHA⋅HD=HC⋅HF.

...Xem thêm

Answer 2