Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các thông tin về đa thức P(x)P(x)P(x) mà đề bài đã cung cấp và tính giá trị P(2026)−P(2025)P(2026) - P(2025)P(2026)−P(2025).

Bước 1: Dùng các tính chất dư
Dựa vào các điều kiện cho trước:

P(−1)=3P(-1) = 3P(−1)=3 (khi P(x)P(x)P(x) chia cho x+1x + 1x+1 dư 3).
P(1)=1P(1) = 1P(1)=1 (khi P(x)P(x)P(x) chia cho xxx dư 1).
P(1)=5P(1) = 5P(1)=5 (khi P(x)P(x)P(x) chia cho x−1x - 1x−1 dư 5).
Có sự không nhất quán giữa điều kiện thứ hai và thứ ba, điều này có thể bạn đã viết nhầm. Tôi sẽ tiếp tục với điều kiện P(1)=1P(1) = 1P(1)=1 và P(1)=5P(1) = 5P(1)=5, và xem xét P(1)P(1)P(1).

Bước 2: Xác định các hệ số aaa, bbb, và ccc
Ta có thể viết:

P(x)=ax2+bx+c.P(x) = ax^2 + bx + c.P(x)=ax2+bx+c.

Với các thông tin P(−1)=3P(-1) = 3P(−1)=3 và P(1)=5P(1) = 5P(1)=5:

Từ P(−1)=3P(-1) = 3P(−1)=3:
a(−1)2+b(−1)+c=3⇒a−b+c=3.a(-1)^2 + b(-1) + c = 3 \Rightarrow a - b + c = 3.a(−1)2+b(−1)+c=3⇒a−b+c=3.
Từ P(1)=1P(1) = 1P(1)=1:
a(1)2+b(1)+c=1⇒a+b+c=1.a(1)^2 + b(1) + c = 1 \Rightarrow a + b + c = 1.a(1)2+b(1)+c=1⇒a+b+c=1.
Bước 3: Thay giá trị cho P(1)=1P(1) = 1P(1)=1 và P(1)=5P(1) = 5P(1)=5
Ta sẽ bỏ qua điều kiện thứ ba vì có sự không nhất quán. Chúng ta sẽ tiếp tục với hai phương trình:

a−b+c=3a - b + c = 3a−b+c=3 (1)
a+b+c=1a + b + c = 1a+b+c=1 (2)
Bước 4: Giải hệ phương trình
Trừ hai phương trình (2) từ (1):

(a−b+c)−(a+b+c)=3−1  ⟹  −2b=2  ⟹  b=−1.(a - b + c) - (a + b + c) = 3 - 1 \implies -2b = 2 \implies b = -1.(a−b+c)−(a+b+c)=3−1⟹−2b=2⟹b=−1.

Thay b=−1b = -1b=−1 vào phương trình (2):

a+(−1)+c=1  ⟹  a+c−1=1  ⟹  a+c=2.a + (-1) + c = 1 \implies a + c - 1 = 1 \implies a + c = 2.a+(−1)+c=1⟹a+c−1=1⟹a+c=2.

Thay b=−1b = -1b=−1 vào phương trình (1):

a−(−1)+c=3  ⟹  a+1+c=3  ⟹  a+c=2.a - (-1) + c = 3 \implies a + 1 + c = 3 \implies a + c = 2.a−(−1)+c=3⟹a+1+c=3⟹a+c=2.

Bước 5: Các hệ số
Vì a+c=2a + c = 2a+c=2 không thay đổi, chúng ta có thể chọn giá trị của aaa một cách tùy ý. Giả sử a=0a = 0a=0, thì c=2c = 2c=2 hoặc a=2a = 2a=2 và c=0c = 0c=0.

Bước 6: Tính P(2026)−P(2025)P(2026) - P(2025)P(2026)−P(2025)
Đa thức có thể là:

P(x)=0⋅x2−1⋅x+2=−x+2.P(x) = 0 \cdot x^2 - 1 \cdot x + 2 = -x + 2.P(x)=0⋅x2−1⋅x+2=−x+2.

Tính P(2026)P(2026)P(2026) và P(2025)P(2025)P(2025):

P(2026)=−2026+2=−2024,P(2026) = -2026 + 2 = -2024,P(2026)=−2026+2=−2024,
P(2025)=−2025+2=−2023.P(2025) = -2025 + 2 = -2023.P(2025)=−2025+2=−2023.

Cuối cùng:

P(2026)−P(2025)=−2024−(−2023)=−2024+2023=−1.P(2026) - P(2025) = -2024 - (-2023) = -2024 + 2023 = -1.P(2026)−P(2025)=−2024−(−2023)=−2024+2023=−1.

Kết luận
Giá trị P(2026)−P(2025)=−1P(2026) - P(2025) = -1P(2026)−P(2025)=−1.