Để chứng minh hai phần trong bài toán này, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác và các đường cao. Dưới đây là cách chứng minh cho từng phần:

a) Chứng minh AD⋅AE=AB⋅AGAD \cdot AE = AB \cdot AGAD⋅AE=AB⋅AG:

Gọi HHH là giao điểm của BDBDBD và CECECE.

Trong tam giác ABEABEABE, ta có:

ABABAB là cạnh của tam giác.
AGAGAG là đường cao từ AAA đến cạnh BEBEBE.
ADADAD là đoạn thẳng từ AAA tới DDD.
AEAEAE là đoạn thẳng từ AAA tới EEE.
Vì HHH là giao điểm của đường cao BDBDBD và CECECE, ta có thể nói rằng AHAHAH vuông góc với BEBEBE và do đó AGAGAG cũng vuông góc với BEBEBE.

Áp dụng định lý diện tích cho hai tam giác:

Diện tích tam giác ABEABEABE có thể được tính bằng:
SABE=12⋅AB⋅AGS_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AGSABE​=21​⋅AB⋅AG
Diện tích tam giác ADEADEADE có thể được tính bằng:
SADE=12⋅AD⋅AES_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AESADE​=21​⋅AD⋅AE
Vì HHH là chân đường cao trong cả hai tam giác ABEABEABE và ADEADEADE, ta có:
SABE=SADES_{ABE} = S_{ADE}SABE​=SADE​
Từ đây, ta có thể thiết lập phương trình:
12⋅AB⋅AG=12⋅AD⋅AE\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AG = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE21​⋅AB⋅AG=21​⋅AD⋅AE
Rút gọn, ta được:
AD⋅AE=AB⋅AGAD \cdot AE = AB \cdot AGAD⋅AE=AB⋅AG
Vậy là ta đã chứng minh được phần (a).

b) Chứng minh FG∥BCFG \parallel BCFG∥BC:

Để chứng minh FG∥BCFG \parallel BCFG∥BC, ta cũng có thể dùng tính chất của các tam giác và các đường cao.

Trong tam giác ADEADEADE, thuật ngữ "đường cao" có nghĩa là các đoạn thẳng bị chia bởi đoạn thẳng FGFGFG cũng phải bình đẳng.

Nếu FGFGFG cắt ABABAB và ACACAC tại FFF và GGG lần lượt.
Do FGFGFG được kẻ song song với BCBCBC, để chứng minh tính chất này, ta xét các góc tương ứng. Do tính chất của các tam giác và các đường cao, ta có:Gọi ∠AFG=∠ABC\angle AFG = \angle ABC∠AFG=∠ABC (theo góc đối diện)
Gọi ∠AEG=∠ACB\angle AEG = \angle ACB∠AEG=∠ACB (theo góc đối diện)
Theo định lý góc đồng vị, nếu ∠AFG=∠ABC\angle AFG = \angle ABC∠AFG=∠ABC và ∠AEG=∠ACB\angle AEG = \angle ACB∠AEG=∠ACB, thì:
FG∥BCFG \parallel BCFG∥BC
Vậy là ta đã chứng minh được phần (b).

Kết luận:

a) AD⋅AE=AB⋅AGAD \cdot AE = AB \cdot AGAD⋅AE=AB⋅AG đã được chứng minh.
b) FG∥BCFG \parallel BCFG∥BC cũng đã được chứng minh.