Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một cách có hệ thống.

a) Chứng minh △AEB = △HEB:
Để chứng minh hai tam giác AEB và HEB bằng nhau, ta sẽ sử dụng tiêu chí chứng minh tam giác bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh (CCC) hoặc cạnh-góc-cạnh (CGC)).

Xét hai tam giác AEB và HEB:

Cạnh AE: Là cạnh chung của hai tam giác.
Góc AEB: Do BE là đường phân giác, nên góc AEB = góc HEB.
Cạnh BE: Là cạnh chung của hai tam giác.
Áp dụng tiêu chí góc-cạnh-góc (GCG):

AE = AE (cạnh chung)
Góc AEB = Góc HEB (góc do đường phân giác)
BE = BE (cạnh chung)
=> Từ các yếu tố trên, ta có: △AEB ≈ △HEB (theo tiêu chí GCG).

b) Chứng minh BE là đường trung trực của AH:
Để chứng minh BE là đường trung trực của AH, chúng ta cần chỉ ra rằng BE chia đoạn AH thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc với AH.

Xét điểm K là giao điểm của BA và EH:

Ta có EH vuông góc với BC và BE là đường phân giác.
Chứng minh BE ⊥ AH:

Bởi vì EH vuông góc với BC, và BE là đường phân giác của ∠ABC, ta có: góc ABE = góc HBE.
Từ đó suy ra BE vuông góc với AH (vì AH nằm trên đường thẳng BC).
Chứng minh AK = KH:

Ta có K là giao điểm của BA và EH, nên EK = KH.
=> Như vậy, BE vừa vuông góc với AH vừa chia AH thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, BE là đường trung trực của AH.

c) So sánh EK với HE:
Chúng ta đã chỉ ra rằng K là giao điểm của BA và EH. Do đó, ta cần xem xét vị trí của các điểm E, K và H:

Xét đoạn EH:

EH là đường vuông góc với BC và K nằm trên đường BA.
So sánh EK và HE:

Do K là giao điểm của đường phân giác BE và đường EH, nên EK < HE, vì K nằm giữa E và H.
=> Kết luận, EK < HE.

Kết luận:
a) △AEB = △HEB.
b) BE là đường trung trực của AH.
c) EK < HE.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một cách có hệ thống.

a) Chứng minh △AEB = △HEB:
Để chứng minh hai tam giác AEB và HEB bằng nhau, ta sẽ sử dụng tiêu chí chứng minh tam giác bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh (CCC) hoặc cạnh-góc-cạnh (CGC)).

Xét hai tam giác AEB và HEB:

Cạnh AE: Là cạnh chung của hai tam giác.
Góc AEB: Do BE là đường phân giác, nên góc AEB = góc HEB.
Cạnh BE: Là cạnh chung của hai tam giác.
Áp dụng tiêu chí góc-cạnh-góc (GCG):

AE = AE (cạnh chung)
Góc AEB = Góc HEB (góc do đường phân giác)
BE = BE (cạnh chung)
=> Từ các yếu tố trên, ta có: △AEB ≈ △HEB (theo tiêu chí GCG).

b) Chứng minh BE là đường trung trực của AH:
Để chứng minh BE là đường trung trực của AH, chúng ta cần chỉ ra rằng BE chia đoạn AH thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc với AH.

Xét điểm K là giao điểm của BA và EH:

Ta có EH vuông góc với BC và BE là đường phân giác.
Chứng minh BE ⊥ AH:

Bởi vì EH vuông góc với BC, và BE là đường phân giác của ∠ABC, ta có: góc ABE = góc HBE.
Từ đó suy ra BE vuông góc với AH (vì AH nằm trên đường thẳng BC).
Chứng minh AK = KH:

Ta có K là giao điểm của BA và EH, nên EK = KH.
=> Như vậy, BE vừa vuông góc với AH vừa chia AH thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, BE là đường trung trực của AH.

c) So sánh EK với HE:
Chúng ta đã chỉ ra rằng K là giao điểm của BA và EH. Do đó, ta cần xem xét vị trí của các điểm E, K và H:

Xét đoạn EH:

EH là đường vuông góc với BC và K nằm trên đường BA.
So sánh EK và HE:

Do K là giao điểm của đường phân giác BE và đường EH, nên EK < HE, vì K nằm giữa E và H.
=> Kết luận, EK < HE.

Kết luận:
a) △AEB = △HEB.
b) BE là đường trung trực của AH.
c) EK < HE.