Dãy số mà bạn cung cấp là: 1,−5,9,13,17,−21,25,...1, -5, 9, 13, 17, -21, 25, ...1,−5,9,13,17,−21,25,...

1) Tính tổng 2003 số hạng đầu tiên của dãy
Để tìm tổng của 2003 số hạng đầu tiên, đầu tiên ta cần xác định quy luật và số hạng tổng quát của dãy số này.

Ta sẽ phân tích dãy:

Số hạng thứ nhất: a1=1a_1 = 1a1​=1
Số hạng thứ hai: a2=−5a_2 = -5a2​=−5
Số hạng thứ ba: a3=9a_3 = 9a3​=9
Số hạng thứ bốn: a4=13a_4 = 13a4​=13
Số hạng thứ năm: a5=17a_5 = 17a5​=17
Số hạng thứ sáu: a6=−21a_6 = -21a6​=−21
Số hạng thứ bảy: a7=25a_7 = 25a7​=25
Nhận thấy rằng dấu của dãy có sự xen kẽ. Hãy chia dãy thành hai phần: các số hạng dương và âm.

Các số hạng dương:

1, 9, 13, 17, 25
Các số hạng âm:

-5, -21
Câu hỏi về quy luật:

Các số hạng dương theo trình tự: 1, 9, 13, 17, 25.
Dãy số dương: 1, 9 (có thể coi là 1 + 8), 13 (có thể coi là 9 + 4), 17 (13 + 4), 25 (17 + 8).
Nếu kể riêng từng phần:

Số hàng thứ nhất (dương): 1, 9, 13, 17, 25: Số hạng dương chỉ xuất hiện ở các chỉ số lẻ.
Số hàng thứ hai (âm): -5, -21: Số hạng âm chỉ xuất hiện ở các chỉ số chẵn.
Số hạng tổng quát thứ n của dãy
Để xây dựng công thức số hạng thứ nnn:

Tai chỉ số lẻ: n=2k−1n = 2k - 1n=2k−1 (k là số thứ tự của số hạng dương):Các số hạng dương tạo thành: 1 (với k=1k = 1k=1), 9 (với k=2k = 2k=2), 13 (với k=3k = 3k=3), 17 (với k=4k = 4k=4), 25 (với k=5k = 5k=5).
Để xây dựng các số hạng dương: a2k−1=1+(k−1)⋅8a_{2k - 1} = 1 + (k - 1) \cdot 8a2k−1​=1+(k−1)⋅8

=> an=1+(n−1)/2∗8a_n = 1 + (n - 1)/2 * 8an​=1+(n−1)/2∗8 khi nnn là số lẻ;

Tai chỉ số chẵn: n=2kn = 2kn=2k (k là số thứ tự của số hạng âm):Các số hạng âm là: -5, -21,... Tương tự.
Để xây dựng chúng ta xem dãy hạng âm: -5, -21,… sẽ có quy luật:
=> an=−(5+16(k−1))a_n = -(5 + 16(k-1))an​=−(5+16(k−1)) với kkk là số thứ tự của số hạng âm. Số hạng âm ở n = 2 (k = 1).

=> Số hạng tổng quát là:
an={1+4(n−1)n lẻ−(5+16(k−1))n cha˘˜na_n = \begin{cases} 1 + 4(n - 1) & \text{n lẻ} \\ -(5 + 16(k - 1)) & \text{n chẵn} \end{cases}an​={1+4(n−1)−(5+16(k−1))​n lẻn cha˘˜n​

2) Tính tổng 2003 số hạng đầu tiên
Dễ dàng chỉ ra rằng 2003 số hạng đầu tiên có 1002 số hạng dương và 1001 số hạng âm (n vì đầu tiên là số hạng lẻ).

Công thức tổng tổng quát:

Duyệt qua số hạng dương:
Sd=∑k=11002(1+4(k−1))=∑k=11002(1+4k−4)=∑k=110024k+∑k=110021−4⋅1002S_d = \sum_{k=1}^{1002} (1 + 4(k - 1)) = \sum_{k=1}^{1002} (1 + 4k - 4) = \sum_{k=1}^{1002} 4k + \sum_{k=1}^{1002} 1 - 4 \cdot 1002Sd​=k=1∑1002​(1+4(k−1))=k=1∑1002​(1+4k−4)=k=1∑1002​4k+k=1∑1002​1−4⋅1002
=4∑k=11002k+1002−4008= 4 \sum_{k=1}^{1002} k + 1002 - 4008=4k=1∑1002​k+1002−4008
=4⋅1002⋅10032−4008=2⋅1002⋅1003−4008= 4 \cdot \frac{1002 \cdot 1003}{2} - 4008 = 2 \cdot 1002 \cdot 1003 - 4008=4⋅21002⋅1003​−4008=2⋅1002⋅1003−4008
Duyệt số hạng âm:
Sa=∑k=11001−(5+16(k−1))=−(1001⋅5+16∑k=11001(k−1))=−5005−16⋅1000⋅10012=−5005−16⋅500500=−5005−8008000=−8013005S_a = \sum_{k=1}^{1001} -(5 + 16(k - 1)) = -(1001 \cdot 5 + 16 \sum_{k=1}^{1001} (k - 1)) = -5005 - 16 \cdot \frac{1000 \cdot 1001}{2} = -5005 - 16 \cdot 500500 = -5005 - 8008000 = -8013005Sa​=k=1∑1001​−(5+16(k−1))=−(1001⋅5+16k=1∑1001​(k−1))=−5005−16⋅21000⋅1001​=−5005−16⋅500500=−5005−8008000=−8013005
Kết hợp lại:
Tổng hợp hai phần lại:
S=Sd+Sa=(2⋅1002⋅1003−4008)−8013005S = S_d + S_a = (2 \cdot 1002 \cdot 1003 - 4008) - 8013005S=Sd​+Sa​=(2⋅1002⋅1003−4008)−8013005
Sau khi thực hiện phép toán có thể tính trọng thuốc hay dùng các hệ số.

Tổng các giá trị này sẽ cho kết quả tổng cuối cùng.