a) Tìm điều kiện của α để thanh có thể cân bằng

Để thanh AB cân bằng, tổng mômen lực tác dụng lên thanh phải bằng không. Ta chọn điểm A làm tâm quay. Các lực tác dụng lên thanh bao gồm:

Trọng lực P = mg đặt tại trung điểm của thanh
Lực căng dây T tác dụng vào đầu B của thanh
Phản lực N của sàn tác dụng lên đầu A của thanh
Lực ma sát Fms của sàn tác dụng lên đầu A của thanh
Ta có:

Mômen lực do trọng lực: M(P) = mg * (AB/2) * cos(α)
Mômen lực do lực căng dây: M(T) = T * AB * sin(α)
Mômen lực do phản lực và lực ma sát bằng 0 vì chúng có cánh tay đòn bằng 0.
Điều kiện cân bằng: M(P) = M(T)

mg * (AB/2) * cos(α) = T * AB * sin(α)

T = (mg * cos(α)) / (2 * sin(α)) = (mg * cot(α)) / 2

Để thanh không trượt, lực ma sát phải lớn hơn hoặc bằng thành phần nằm ngang của lực căng dây:

Fms >= T * cos(α)

μ * N >= T * cos(α)

Vì N = P = mg, ta có:

μ * mg >= (mg * cot(α) * cos(α)) / 2

μ >= cos²(α) / (2 * sin(α)) = cos(α) / (2 * tan(α))

0.5 >= cos(α) / (2 * tan(α))

tan(α) >= cos(α)

sin(α) >= cos²(α) / 2

2sin(α) >= 1 - sin²(α)

sin²(α) + 2sin(α) - 1 >= 0

Đặt x = sin(α), ta có:

x² + 2x - 1 >= 0

Nghiệm của phương trình x² + 2x - 1 = 0 là x = -1 ± √2. Vì 0 <= sin(α) <= 1, ta chọn x = √2 - 1.

sin(α) >= √2 - 1

α >= arcsin(√2 - 1) ≈ 22.54 độ

Vậy, điều kiện để thanh cân bằng là α >= 22.54 độ.

b) Tính các lực tác dụng lên thanh và khoảng cách AD khi α = 60 độ

Khi α = 60 độ:

T = (mg * cot(60°)) / 2 = (2 * 10 * (1/√3)) / 2 ≈ 5.77 N
N = mg = 2 * 10 = 20 N
Fms = μ * N = 0.5 * 20 = 10 N
Khoảng cách AD:

AD = AB * cos(α) = 2 * cos(60°) = 2 * 0.5 = 1 m

Vậy:

Lực căng dây T ≈ 5.77 N
Phản lực N = 20 N
Lực ma sát Fms = 10 N
Khoảng cách AD = 1 m

a) Tìm điều kiện của α để thanh có thể cân bằng

Để thanh AB cân bằng, tổng mômen lực tác dụng lên thanh phải bằng không. Ta chọn điểm A làm tâm quay. Các lực tác dụng lên thanh bao gồm:

Trọng lực P = mg đặt tại trung điểm của thanh
Lực căng dây T tác dụng vào đầu B của thanh
Phản lực N của sàn tác dụng lên đầu A của thanh
Lực ma sát Fms của sàn tác dụng lên đầu A của thanh
Ta có:

Mômen lực do trọng lực: M(P) = mg * (AB/2) * cos(α)
Mômen lực do lực căng dây: M(T) = T * AB * sin(α)
Mômen lực do phản lực và lực ma sát bằng 0 vì chúng có cánh tay đòn bằng 0.
Điều kiện cân bằng: M(P) = M(T)

mg * (AB/2) * cos(α) = T * AB * sin(α)

T = (mg * cos(α)) / (2 * sin(α)) = (mg * cot(α)) / 2

Để thanh không trượt, lực ma sát phải lớn hơn hoặc bằng thành phần nằm ngang của lực căng dây:

Fms >= T * cos(α)

μ * N >= T * cos(α)

Vì N = P = mg, ta có:

μ * mg >= (mg * cot(α) * cos(α)) / 2

μ >= cos²(α) / (2 * sin(α)) = cos(α) / (2 * tan(α))

0.5 >= cos(α) / (2 * tan(α))

tan(α) >= cos(α)

sin(α) >= cos²(α) / 2

2sin(α) >= 1 - sin²(α)

sin²(α) + 2sin(α) - 1 >= 0

Đặt x = sin(α), ta có:

x² + 2x - 1 >= 0

Nghiệm của phương trình x² + 2x - 1 = 0 là x = -1 ± √2. Vì 0 <= sin(α) <= 1, ta chọn x = √2 - 1.

sin(α) >= √2 - 1

α >= arcsin(√2 - 1) ≈ 22.54 độ

Vậy, điều kiện để thanh cân bằng là α >= 22.54 độ.

b) Tính các lực tác dụng lên thanh và khoảng cách AD khi α = 60 độ

Khi α = 60 độ:

T = (mg * cot(60°)) / 2 = (2 * 10 * (1/√3)) / 2 ≈ 5.77 N
N = mg = 2 * 10 = 20 N
Fms = μ * N = 0.5 * 20 = 10 N
Khoảng cách AD:

AD = AB * cos(α) = 2 * cos(60°) = 2 * 0.5 = 1 m

Vậy:

Lực căng dây T ≈ 5.77 N
Phản lực N = 20 N
Lực ma sát Fms = 10 N
Khoảng cách AD = 1 m

a) Tìm điều kiện của α để thanh có thể cân bằng

Để thanh AB cân bằng, tổng mômen lực tác dụng lên thanh phải bằng không. Ta chọn điểm A làm tâm quay. Các lực tác dụng lên thanh bao gồm:

Trọng lực P = mg đặt tại trung điểm của thanh
Lực căng dây T tác dụng vào đầu B của thanh
Phản lực N của sàn tác dụng lên đầu A của thanh
Lực ma sát Fms của sàn tác dụng lên đầu A của thanh
Ta có:

Mômen lực do trọng lực: M(P) = mg * (AB/2) * cos(α)
Mômen lực do lực căng dây: M(T) = T * AB * sin(α)
Mômen lực do phản lực và lực ma sát bằng 0 vì chúng có cánh tay đòn bằng 0.
Điều kiện cân bằng: M(P) = M(T)

mg * (AB/2) * cos(α) = T * AB * sin(α)

T = (mg * cos(α)) / (2 * sin(α)) = (mg * cot(α)) / 2

Để thanh không trượt, lực ma sát phải lớn hơn hoặc bằng thành phần nằm ngang của lực căng dây:

Fms >= T * cos(α)

μ * N >= T * cos(α)

Vì N = P = mg, ta có:

μ * mg >= (mg * cot(α) * cos(α)) / 2

μ >= cos²(α) / (2 * sin(α)) = cos(α) / (2 * tan(α))

0.5 >= cos(α) / (2 * tan(α))

tan(α) >= cos(α)

sin(α) >= cos²(α) / 2

2sin(α) >= 1 - sin²(α)

sin²(α) + 2sin(α) - 1 >= 0

Đặt x = sin(α), ta có:

x² + 2x - 1 >= 0

Nghiệm của phương trình x² + 2x - 1 = 0 là x = -1 ± √2. Vì 0 <= sin(α) <= 1, ta chọn x = √2 - 1.

sin(α) >= √2 - 1

α >= arcsin(√2 - 1) ≈ 22.54 độ

Vậy, điều kiện để thanh cân bằng là α >= 22.54 độ.

b) Tính các lực tác dụng lên thanh và khoảng cách AD khi α = 60 độ

Khi α = 60 độ:

T = (mg * cot(60°)) / 2 = (2 * 10 * (1/√3)) / 2 ≈ 5.77 N
N = mg = 2 * 10 = 20 N
Fms = μ * N = 0.5 * 20 = 10 N
Khoảng cách AD:

AD = AB * cos(α) = 2 * cos(60°) = 2 * 0.5 = 1 m

Vậy:

Lực căng dây T ≈ 5.77 N
Phản lực N = 20 N
Lực ma sát Fms = 10 N
Khoảng cách AD = 1 m