Để khai triển biểu thức \((x - 5y)^6\), ta sử dụng **định lý nhị thức (binomial theorem)**.

Công thức khai triển của biểu thức \((a + b)^n\) theo định lý nhị thức là:

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

Trong đó:
- \(\binom{n}{k}\) là hệ số nhị thức (hệ số của mỗi hạng tử trong khai triển).
- \(a\) và \(b\) là các hằng số trong biểu thức.
- \(n\) là lũy thừa.

Áp dụng vào biểu thức \((x - 5y)^6\), ta có:
- \(a = x\), \(b = -5y\), và \(n = 6\).

Khai triển theo công thức trên, ta có:

\[
(x - 5y)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-5y)^k
\]

Bây giờ, ta tính từng hạng tử của tổng này.

 Các hạng tử:
1. Khi \(k = 0\):
\[
\binom{6}{0} x^{6-0} (-5y)^0 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 = x^6
\]

2. Khi \(k = 1\):
\[
\binom{6}{1} x^{6-1} (-5y)^1 = 6 \cdot x^5 \cdot (-5y) = -30x^5y
\]

3. Khi \(k = 2\):
\[
\binom{6}{2} x^{6-2} (-5y)^2 = 15 \cdot x^4 \cdot 25y^2 = 375x^4y^2
\]

4. Khi \(k = 3\):
\[
\binom{6}{3} x^{6-3} (-5y)^3 = 20 \cdot x^3 \cdot (-125y^3) = -2500x^3y^3
\]

5. Khi \(k = 4\):
\[
\binom{6}{4} x^{6-4} (-5y)^4 = 15 \cdot x^2 \cdot 625y^4 = 9375x^2y^4
\]

6. Khi \(k = 5\):
\[
\binom{6}{5} x^{6-5} (-5y)^5 = 6 \cdot x \cdot (-3125y^5) = -18750xy^5
\]

7. Khi \(k = 6\):
\[
\binom{6}{6} x^{6-6} (-5y)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 15625y^6 = 15625y^6
\]

\[
(x - 5y)^6 = x^6 - 30x^5y + 375x^4y^2 - 2500x^3y^3 + 9375x^2y^4 - 18750xy^5 + 15625y^6
\]

Đây là biểu thức khai triển của \((x - 5y)^6\).

Để khai triển biểu thức (x−5y)6(x - 5y)^6(x−5y)6, ta sẽ sử dụng Định lý nhị thức (Binomial Theorem). Định lý này cho biết rằng:

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk

Áp dụng vào trường hợp của ta với a=xa = xa=x, b=−5yb = -5yb=−5y, và n=6n = 6n=6:

(x−5y)6=∑k=06(6k)x6−k(−5y)k(x - 5y)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-5y)^k(x−5y)6=k=0∑6​(k6​)x6−k(−5y)k

Ta có thể tính ra từng hạng tử từ k=0k = 0k=0 đến k=6k = 6k=6:

k=0k = 0k=0:
(60)x6(−5y)0=1⋅x6⋅1=x6\binom{6}{0} x^6 (-5y)^0 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 = x^6(06​)x6(−5y)0=1⋅x6⋅1=x6
k=1k = 1k=1:
(61)x5(−5y)1=6⋅x5⋅(−5y)=−30x5y\binom{6}{1} x^5 (-5y)^1 = 6 \cdot x^5 \cdot (-5y) = -30x^5y(16​)x5(−5y)1=6⋅x5⋅(−5y)=−30x5y
k=2k = 2k=2:
(62)x4(−5y)2=15⋅x4⋅25y2=375x4y2\binom{6}{2} x^4 (-5y)^2 = 15 \cdot x^4 \cdot 25y^2 = 375x^4y^2(26​)x4(−5y)2=15⋅x4⋅25y2=375x4y2
k=3k = 3k=3:
(63)x3(−5y)3=20⋅x3⋅(−125y3)=−2500x3y3\binom{6}{3} x^3 (-5y)^3 = 20 \cdot x^3 \cdot (-125y^3) = -2500x^3y^3(36​)x3(−5y)3=20⋅x3⋅(−125y3)=−2500x3y3
k=4k = 4k=4:
(64)x2(−5y)4=15⋅x2⋅625y4=9375x2y4\binom{6}{4} x^2 (-5y)^4 = 15 \cdot x^2 \cdot 625y^4 = 9375x^2y^4(46​)x2(−5y)4=15⋅x2⋅625y4=9375x2y4
k=5k = 5k=5:
(65)x1(−5y)5=6⋅x⋅(−3125y5)=−18750xy5\binom{6}{5} x^1 (-5y)^5 = 6 \cdot x \cdot (-3125y^5) = -18750xy^5(56​)x1(−5y)5=6⋅x⋅(−3125y5)=−18750xy5
k=6k = 6k=6:
(66)x0(−5y)6=1⋅1⋅15625y6=15625y6\binom{6}{6} x^0 (-5y)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 15625y^6 = 15625y^6(66​)x0(−5y)6=1⋅1⋅15625y6=15625y6
Cuối cùng, gộp tất cả các hạng tử lại, chúng ta có:

(x−5y)6=x6−30x5y+375x4y2−2500x3y3+9375x2y4−18750xy5+15625y6(x - 5y)^6 = x^6 - 30x^5y + 375x^4y^2 - 2500x^3y^3 + 9375x^2y^4 - 18750xy^5 + 15625y^6(x−5y)6=x6−30x5y+375x4y2−2500x3y3+9375x2y4−18750xy5+15625y6

Vậy, khai triển biểu thức (x−5y)6(x - 5y)^6(x−5y)6 là:

x6−30x5y+375x4y2−2500x3y3+9375x2y4−18750xy5+15625y6x^6 - 30x^5y + 375x^4y^2 - 2500x^3y^3 + 9375x^2y^4 - 18750xy^5 + 15625y^6x6−30x5y+375x4y2−2500x3y3+9375x2y4−18750xy5+15625y6