Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm M(1; 2; 1) và N(3; 1; -2), chúng ta cần tìm vectơ hướng của đường thẳng. Vectơ hướng có thể tính bởi công thức sau:

v = (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1)

Với x1, y1, z1 là tọa độ của điểm M, x2, y2, z2 là tọa độ của点 N

Thay thế số liệu vào công thức ta có:

v = (3 - 1, 1 - 2, -2 - 1) = (2; -1; -3)

Vậy vectơ hướng của đường thẳng là (2; -1; -3)

Phương trình của đường thẳng có dạng:

(x - x1; y - y1; z - z1) = k.v

k là một tham số thực

Thay số liệu vào ta có:

(x - 1; y - 2; z - 1) = k.(2; -1; -3)

Ta chuyển đổi về hệ phương trình:

(1) (x - 1)/2 = (y - 2)/-1 = (z - 1)/-3

Hoặc ta cũng có phương trình

(x - 1)/2 = (y - 2)/1 = (z - 1)/3

Hoặc phương trình

(x - 1)/- 2 = (y - 2)/1 = (z - 1)/- 3

Hoặc phương trình

x - 1 = - (y - 2) + k. (2) = - (y - 2) + 2k

y - 2 = (x -1) + k . (- 1)

z -1 = (x - 1) + k.( - 3)

Thay y = x - 2k + 2; z = x - 3k +1

x + 1 = (y + 2) + 2k

(x + 1)/2 = (y + 2)/1 + k.

x + 1 = 2(z + 1) + - 3k

(x + 1)/3 = (y+ 2)/0 + k

Ta thấy k = 1 thỏa mãn cả ba hệ phương trình

(x + 1)/4 = (y + 2)/3 = (z + 1)/-1

Do đó phương trình có dạng là

(x - 1)/2 = (y - 2)/- 1 = (z - 1)/-3

và (x + 1)/2 = (y + 2)/- 1 = (z + 1)/- 3 là đúng