Để tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, chúng ta cần sử dụng thông tin về đường cao. Giả sử, m, n, p lần lượt là độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C tương ứng. Ta có thể tính diện tích của tam giác và từ đó tìm ra độ dài các cạnh.

Giả sử diện tích của tam giác là S. Ta có:

S=12×BC×mS = \frac{1}{2} \times BC \times mS=21​×BC×m
S=12×AC×nS = \frac{1}{2} \times AC \times nS=21​×AC×n
S=12×AB×pS = \frac{1}{2} \times AB \times pS=21​×AB×p
Gọi cạnh đối diện với đỉnh A là a, cạnh đối diện với đỉnh B là b, và cạnh đối diện với đỉnh C là c. Ta có:

a=BCa = BCa=BC
b=ACb = ACb=AC
c=ABc = ABc=AB
Khi đó, ta có thể biểu diễn diện tích S theo các cạnh và đường cao:

S=12×a×mS = \frac{1}{2} \times a \times mS=21​×a×m(1)
S=12×b×nS = \frac{1}{2} \times b \times nS=21​×b×n(2)
S=12×c×pS = \frac{1}{2} \times c \times pS=21​×c×p(3)
Từ (1), (2), và (3), ta có thể rút ra các công thức tính độ dài các cạnh theo đường cao:

a=2Sma = \frac{2S}{m}a=m2S​(4)
b=2Snb = \frac{2S}{n}b=n2S​(5)
c=2Spc = \frac{2S}{p}c=p2S​(6)
Để tính được a, b, c, chúng ta cần tìm ra giá trị của S. Tuy nhiên, chúng ta chưa có đủ thông tin để tìm ra S. Vì vậy, chúng ta không thể chỉ dựa vào m, n, p để tính trực tiếp a, b, c. Chúng ta cần thêm thông tin, chẳng hạn như góc, hoặc một cạnh khác.

Tóm lại, nếu chỉ biết độ dài các đường cao m, n, p, chúng ta không thể xác định duy nhất độ dài các cạnh của tam giác ABC. Cần thêm thông tin về tam giác (ví dụ: một góc hoặc một cạnh) để giải quyết bài toán.