Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu a), b), và c).

### a) Tính độ dài các đoạn thẳng KN, KP

Áp dụng định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{KN}{KP} = \frac{MN}{MP}
\]

Với \( MN = 5 \) cm, \( MP = 7 \) cm, từ đó:

\[
\frac{KN}{KP} = \frac{5}{7}
\]

Gọi \( KN = 5x \) và \( KP = 7x \). Ta có:

\[
KN + KP = NP
\]
\[
5x + 7x = 9 \Rightarrow 12x = 9 \Rightarrow x = \frac{3}{4}
\]

Thay giá trị của \( x \) vào công thức ta tính được:

\[
KN = 5x = 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3.75 \text{ cm}
\]

\[
KP = 7x = 7 \cdot \frac{3}{4} = \frac{21}{4} = 5.25 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh DE là đường trung bình của tam giác MNP

Gọi \( O \) là trung điểm của \( MK \). Theo định lý trung bình, nếu \( DE \) là đoạn thẳng nối liền hai điểm giữa của hai cạnh của một tam giác, thì đoạn thẳng đó song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa chiều dài cạnh đó.

**Khảo sát:**
- Trong tam giác \( MNP \):
- \( D \) là điểm giữa của \( MN \)
- \( E \) là điểm giữa của \( MP \)

Giả sử tọa độ của các điểm như sau:
- M(0, 0)
- N(5, 0) (vì MN = 5 cm)
- Sử dụng định lý Cosine để xác định tọa độ của P. Đầu tiên tính cạnh NP:

Sử dụng công thức để tính độ dài cạnh từ hai đỉnh (N và M):

Biết \( MN = 5 \), \( MP = 7 \), \( NP = 9 \), từ đó ta có thể sử dụng định lý Cosine để tính tọa độ của \( P \):

\[
NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 \cdot MN \cdot MP \cdot \cos(\angle M)
\]
\[
9^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(M)
\]

Từ đó tính được cos(M), sau đó tìm tọa độ của điểm P.

Giả sử, O là trung điểm của MK, thì DE sẽ song song với NP và bằng 1/2 độ dài của NP.

Đoạn DE sẽ có độ dài bằng:

\[
DE = \frac{1}{2} \cdot NP = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}
\]

### c) Tính tỉ số diện tích tam giác MNP và tam giác MDE

Theo định lý về tỉ số diện tích của hai tam giác có cùng chiều cao, tỉ số diện tích sẽ tương ứng với tỉ số giữa đáy.

Khi DE là đoạn trung bình, thì tỉ số giữa đáy (MN hoặc MP) và đoạn DE là bằng 2:

\[
\frac{S_{MDE}}{S_{MNP}} = \frac{DE}{NP} = \frac{4.5}{9} = \frac{1}{2}
\]

### Kết luận:
a) Độ dài \( KN = 3.75 \) cm, \( KP = 5.25 \) cm.
b) Đoạn DE là đường trung bình của tam giác MNP, và \( DE = 4.5 \) cm.
c) Tỉ số diện tích tam giác MDE và tam giác MNP là \( \frac{1}{2} \).