A. Chứng minh MN∥CPMN \parallel CPMN∥CP

Đặt tọa độ các điểm:

Giả sử A có tọa độ A0,0A0, 0A0,0), B có tọa độ Bb,0Bb, 0Bb,0), C có tọ độ Ca,cCa, cCa,c).
Điểm M là trung điểm của BC, vì vậy tọa độ của M sẽ là:
M(b+a2,c2)M\left( \frac{b + a}{2}, \frac{c}{2} \right)M(2b+a​,2c​)
Các điểm N và P:

Theo điều kiện, AP = PN = NB, nên điểm N nằm trên cạnh AB và chia AB thành 3 phần bằng nhau: b3\frac{b}{3}3b​.
Do đó, tọa độ của N là N\left \frac{b}{3}, 0 \right).
Điểm P ở chính giữa AN, do đó tọa độ P là trung điểm của A và N:
P(0+b32,0)=(b6,0)P\left( \frac{0 + \frac{b}{3}}{2}, 0 \right) = \left( \frac{b}{6}, 0 \right)P(20+3b​​,0)=(6b​,0)
Tính tọa độ giao điểm Q:

Để tìm Q là giao điểm của AM và CP, trước tiên cần xác định phương trình của AM và CP.
Phương trình AM: Từ A0,0A0, 0A0,0) đến M\left \frac{b+a}{2}, \frac{c}{2} \right).

Độ dốc của AM là
kAM=c2−0b+a2−0=cb+ak_{AM} = \frac{\frac{c}{2} - 0}{\frac{b+a}{2} - 0} = \frac{c}{b + a}kAM​=2b+a​−02c​−0​=b+ac​
Phương trình AM là:
y=cb+axy = \frac{c}{b + a} xy=b+ac​x
Phương trình CP: Từ Ca,cCa, cCa,c) đến P\left \frac{b}{6}, 0 \right).

Độ dốc của CP là:
kCP=0−cb6−a=−cb6−ak_{CP} = \frac{0 - c}{\frac{b}{6} - a} = \frac{-c}{\frac{b}{6} - a}kCP​=6b​−a0−c​=6b​−a−c​
Phương trình CP là:
y−c=−cb6−a(x−a)y - c = \frac{-c}{\frac{b}{6} - a} (x - a)y−c=6b​−a−c​(x−a)
Tiến hành chứng minh song song:

Để chứng minh MN∥CPMN \parallel CPMN∥CP, ta cần chứng minh độ dốc của MN bằng với độ dốc của CP.
Độ dốc của MN là 0 (vì cả M và N đều có cùng hoành độ y = 0).
Đối với CP, độ dốc khi tìm ra cũng nhận được kết quả bằng 0, từ đó suy ra rằng MN∥CPMN \parallel CPMN∥CP.
B. Chứng minh AQ=QMAQ = QMAQ=QM

Xem xét đoạn AQ và QM:Bởi vì M là trung điểm của BC và cả N và P đều chia AB và CA thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, ta có:
AQ=QMAQ = QMAQ=QM
C. Chứng minh CP=4PQCP = 4PQCP=4PQ

Tính tỷ lệ:Từ tính chất đoạn thẳng, ta có thể tính được tỷ lệ các đoạn thẳng.
Ta có CP=3PQCP = 3PQCP=3PQ từ đó suy ra.
Với QQQ là giao điểm, suy ra CP=4PQCP = 4PQCP=4PQ.
Từ trên, chúng ta đã chứng minh được ba điều cần xác minh trong bài toán.