Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một:

a) Chứng minh AD⋅AC=AE⋅ABAD \cdot AC = AE \cdot ABAD⋅AC=AE⋅AB.
Ta có tam giác ABCABCABC với đường trung tuyến AHAHAH từ đỉnh AAA đến cạnh BCBCBC. Gọi HHH là trung điểm của BCBCBC, nghĩa là BH=HCBH = HCBH=HC.

Ta có:

HDHDHD là phân giác của góc AHBAHBAHB
HEHEHE là phân giác của góc AHCAHCAHC
Theo định lý phân giác, ta có:

ADAB=AHAB+BH=AHAB+AC2\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{AB + BH} = \frac{AH}{AB + \frac{AC}{2}}ABAD​=AB+BHAH​=AB+2AC​AH​
AEAC=AHAC+HC=AHAC+AB2\frac{AE}{AC} = \frac{AH}{AC + HC} = \frac{AH}{AC + \frac{AB}{2}}ACAE​=AC+HCAH​=AC+2AB​AH​

Sử dụng định lý phân giác trong tam giác AHBAHBAHB và AHCAHCAHC, ta có:
ADAE=ABAC\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC}AEAD​=ACAB​

Từ đó, ta cũng có thể viết lại:
AD⋅AC=AE⋅ABAD \cdot AC = AE \cdot ABAD⋅AC=AE⋅AB

b) Chứng minh DE∥BCDE \parallel BCDE∥BC.
Để chứng minh DE∥BCDE \parallel BCDE∥BC, ta sử dụng định lý xác định về các đường thẳng cắt nhau trong tam giác. Ta có:

Vì HDHDHD và HEHEHE lần lượt là hai phân giác của góc AHBAHBAHB và góc AHCAHCAHC, theo định lý phân giác, thì:

ADAB=AEAC\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}ABAD​=ACAE​

Tức là hai cạnh mà phân giác chia tỉ lệ sẽ cố định, suy ra:

ADAE=ABAC\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC}AEAD​=ACAB​

Do đó, từ DDD đến EEE và từ BBB đến CCC có tỉ số đồng dạng. Do đó, theo định lý Thales, ta xác định được rằng DE∥BCDE \parallel BCDE∥BC.

c) Tam giác ABCABCABC cần có thêm điều kiện gì để DEDEDE là đường trung bình?
Để DEDEDE là đường trung bình trong tam giác ABCABCABC, ta cần AD=AEAD = AEAD=AE.

Điều này có nghĩa là DDD và EEE phải nằm ở giữa các cạnh ABABAB và ACACAC sao cho:

Để AD=AB2AD = \frac{AB}{2}AD=2AB​ và AE=AC2AE = \frac{AC}{2}AE=2AC​, cần có các điều kiện về kích thước cạnh của tam giác, tức là tam giác ABCABCABC cần phải là tam giác đều hoặc cân để đảm bảo ADADAD và AEAEAE là tỷ lệ nhất quán giữa các cạnh.
Cụ thể hơn, tam giác ABCABCABC cần có điều kiện là cân tại đỉnh AAA (điều kiện AB=ACAB = ACAB=AC) để DEDEDE là đường trung bình, chia BCBCBC thành hai đoạn bằng nhau.

Giải
a) Chứng minh $AD \cdot AC = AE \cdot AB$

• Vì $HD$ là phân giác góc $AHB$, theo định lý đường phân giác: $\frac{AD}{DB} = \frac{AH}{HB}$
• Tương tự, $HE$ là phân giác góc $AHC$, ta có: $\frac{AE}{EC} = \frac{AH}{HC}$
• Vì $H$ là trung điểm $BC \Rightarrow HB = HC$, nên: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
• Do đó, áp dụng tính chất tỉ số bằng nhau: $AD \cdot AC = AE \cdot AB$
  
  

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) Chứng minh $DE \parallel BC$

• Từ phần (a), ta có $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
• Theo định lý đường thẳng chia hai cạnh tam giác tỉ lệ, ta suy ra $DE \parallel BC$.
  
  

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

c) Điều kiện để $DE$ là đường trung bình

• $DE$ là đường trung bình khi và chỉ khi nó đi qua trung điểm của cả $AB$ và $AC$.
• Điều này xảy ra khi tam giác ABC cân tại A, tức là $AB = AC$.