Để chứng minh yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng định lý đồng dạng tam giác và định lý tương ứng theo tỉ lệ đoạn thẳng.

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác BDA
Để chứng minh rằng tam giác ABCABCABC đồng dạng với tam giác BDABDABDA, chúng ta sẽ kiểm tra các tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác.

Từ đề bài, ta có các độ dài:

AB=12AB = 12AB=12 cm
AC=18AC = 18AC=18 cm
AD=16AD = 16AD=16 cm
BC=24BC = 24BC=24 cm
BD=8BD = 8BD=8 cm
Chúng ta sẽ sử dụng tỉ lệ các độ dài để kiểm tra xem hai tam giác này có đồng dạng hay không. Theo quy tắc tỉ lệ cạnh, hai tam giác đồng dạng nếu tỉ lệ giữa hai cặp cạnh tương ứng là bằng nhau, hoặc nếu có một góc tương ứng bằng nhau.

Tính tỉ lệ giữa các cạnh:

Tỉ lệ giữa các cạnh ABBD\frac{AB}{BD}BDAB​:
ABBD=128=32\frac{AB}{BD} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}BDAB​=812​=23​
Tỉ lệ giữa các cạnh ACAD\frac{AC}{AD}ADAC​:
ACAD=1816=98\frac{AC}{AD} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}ADAC​=1618​=89​
Tỉ lệ giữa các cạnh BCDA\frac{BC}{DA}DABC​ (không có cần thiết này nho nếu không có độ dài DADADA).
Lưu ý rằng cần phải kiểm tra góc bằng nhau, khi đó theo định lý về tam giác đồng dạng (góc-góc-góc hay cạnh-góc-cạnh), ta cần một trong hai góc bằng nhau.
Giả sử ∠A=∠BDA\angle A = \angle BDA∠A=∠BDA (góc giữa các cạnh) và các tỉ lệ trên có thể sút giảm cho thấy đồng dạng.

Do ABBD=ACAD→32=98\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{AD} \rightarrow \frac{3}{2} = \frac{9}{8}BDAB​=ADAC​→23​=89​, không đồng dạng, vì thế chúng ta kiểm tra các góc ở bên trong.

Kết luận: không thể khẳng định dựa vào các độ dài hiện tại về đồng dạng.

b) Chứng minh AE×DE=BE×CEAE \times DE = BE \times CEAE×DE=BE×CE
Để chứng minh rằng AE×DE=BE×CEAE \times DE = BE \times CEAE×DE=BE×CE, trước tiên, ta cần hiểu rằng đây là một dạng của định lý tiếp tuyến (nếu AE,DE,BE,CEAE, DE, BE, CEAE,DE,BE,CE nằm trên cùng đoạn thẳng).

Ta cần xem xét vị trí của EEE, nơi giao nhau của các tiếp tuyến (nếu có trong cấu hình của tam giác và điểm).
Theo định lý đường chéo (còn gọi là định lý Menelaus hoặc tương tự), chúng ta có thể thấy rằng:

Khi đó các cạnh sẽ cho ta đặt:Điểm DDD nằm một trong những điểm biên.
Tích tỉ lệ sẽ cho ra dạng chuẩn.
Do đó:

Nếu cho nhau AE+CE=ACAE + CE = ACAE+CE=AC và nối với đoạn DEDEDE từ BBB tới.
Nếu ta có cùng góc tỏa ra từ các điểm B,CB, CB,C thì:
AE⋅DE=BE⋅CEAE \cdot DE = BE \cdot CEAE⋅DE=BE⋅CE
Kết luận, ta cần một cơ sở toán học về các định lý để ra kết quả chính xác. Tùy thuộc vào xây dựng thêm chiều sâu về góc hợp bên trong tam giác để khẳng định đồng dạng và tính đúng cao của phân tích.

Tổng kết
Cần vận dụng thêm chính xác một số định lý về tam giác để xử lý tốt nhất yêu cầu bài toán.