Bài a:
Từ điều kiện x3=y4=z5=k\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k3x​=4y​=5z​=k (với kkk là một hằng số):

Tìm x, y, z theo k:

x=3kx = 3kx=3k
y=4ky = 4ky=4k
z=5kz = 5kz=5k
Thay vào phương trình 2x+3y+5z=862x + 3y + 5z = 862x+3y+5z=86:
2(3k)+3(4k)+5(5k)=862(3k) + 3(4k) + 5(5k) = 862(3k)+3(4k)+5(5k)=86
6k+12k+25k=866k + 12k + 25k = 866k+12k+25k=86
43k=86⇒k=243k = 86 \quad \Rightarrow \quad k = 243k=86⇒k=2
Thay k vào x, y, z:

x=32=6x = 32 = 6x=32=6)
y=42=8y = 42 = 8y=42=8)
z=52=10z = 52 = 10z=52=10)
Kết quả bài a:
x=6,y=8,z=10x = 6, y = 8, z = 10x=6,y=8,z=10

Bài b:
Từ điều kiện x3=y4=y6=z8=k\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z}{8} = k3x​=4y​=6y​=8z​=k:

Tìm x, y, z theo k:

Từ x3=k\frac{x}{3} = k3x​=k => x=3kx = 3kx=3k
Từ y4=k\frac{y}{4} = k4y​=k => y=4ky = 4ky=4k
Từ y6=k\frac{y}{6} = k6y​=k => y=6ky = 6ky=6k -> Không hợp lý với kết quả trên.
Nhưng từ y6=k\frac{y}{6} = k6y​=k này, k không đồng nhất được với y4\frac{y}{4}4y​, ta nên chọn y=12ky = 12ky=12k từ y6=k\frac{y}{6} = k6y​=k và điều chỉnh lại y4=k\frac{y}{4} = k4y​=k.
Vậy y=12ky = 12ky=12k, sau đó không có cách nào cho k trên cả hai phương trình. Điều này không phải là mệnh đề chắc chắn.
Nhưng từ y=12ky = 12ky=12k:

x=3kx = 3kx=3k
Từ y=4ky = 4ky=4k:
3k+k=4k⇒4 laˋ chıˊnh xaˊc3k + k = 4k \Rightarrow 4 \text{ là chính xác}3k+k=4k⇒4 laˋ chıˊnh xaˊc
Từ phương trình 3x−2y−z=133x - 2y - z = 133x−2y−z=13:
3. Thay x, y, z:
3(3k)−2(12k)−8k=133(3k) - 2(12k) - 8k = 133(3k)−2(12k)−8k=13

Giải phương trình:

Để tránh diễn giải khó khăn trong việc hợp nhất hàm lượng này:

Nhằm về hướng này:
Nếu so sánh đúng với z, từ y4⇒k\frac{y}{4} \Rightarrow k4y​⇒k.

Bài c:
Từ câu lệnh 2x=3y=5z⇒2x=k,3y=k,5z=k→x=k2,y=k3,z=k52x = 3y = 5z \Rightarrow 2x = k, 3y = k, 5z = k \rightarrow x = \frac{k}{2}, y = \frac{k}{3}, z = \frac{k}{5}2x=3y=5z⇒2x=k,3y=k,5z=k→x=2k​,y=3k​,z=5k​

Thay vào phương trình x+y−z=95x + y - z = 95x+y−z=95:
k2+k3−k5=95\frac{k}{2} + \frac{k}{3} - \frac{k}{5} = 952k​+3k​−5k​=95
Để loại bỏ ước số:

Ta lấy mẫu số chung là 303030
Đặt 303030:
15k+10k−6k=285015k + 10k - 6k = 285015k+10k−6k=2850
19k=2850⇒k=15019k = 2850 \Rightarrow k = 15019k=2850⇒k=150
=> Thay trở lại:
x=1502=75x = \frac{150}{2} = 75x=2150​=75
y=1503=50y = \frac{150}{3} = 50y=3150​=50
z=1505=30z = \frac{150}{5} = 30z=5150​=30
Kết quả bài c:
x=75,y=50,z=30x = 75, y = 50, z = 30x=75,y=50,z=30

Chúng ta sẽ giải từng hệ phương trình một.

a.
Được cho:

x3=y4=z5=k\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k3x​=4y​=5z​=k

Và từ đó, ta có:

x=3k,y=4k,z=5kx = 3k, \quad y = 4k, \quad z = 5kx=3k,y=4k,z=5k

Ngoài ra, còn có phương trình:

2x+3y+5z=862x + 3y + 5z = 862x+3y+5z=86

Thay xxx, yyy, và zzz vào phương trình trên:

2(3k)+3(4k)+5(5k)=862(3k) + 3(4k) + 5(5k) = 862(3k)+3(4k)+5(5k)=86
6k+12k+25k=866k + 12k + 25k = 866k+12k+25k=86
43k=8643k = 8643k=86
k=2k = 2k=2

Thay giá trị của kkk vào các biểu thức để tìm xxx, yyy, và zzz:

x=3k=3(2)=6x = 3k = 3(2) = 6x=3k=3(2)=6

y=4k=4(2)=8y = 4k = 4(2) = 8y=4k=4(2)=8

z=5k=5(2)=10z = 5k = 5(2) = 10z=5k=5(2)=10

Kết quả phần a:
x=6,y=8,z=10x = 6, \quad y = 8, \quad z = 10x=6,y=8,z=10

b.
Được cho:

x3=y4=y6=z8=k\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z}{8} = k3x​=4y​=6y​=8z​=k

Từ đó có:

x=3k,y=4k,z=6kx = 3k, \quad y = 4k, \quad z = 6kx=3k,y=4k,z=6k

Và có phương trình:

3x−2y−z=133x - 2y - z = 133x−2y−z=13

Thay các biểu thức vào phương trình:

3(3k)−2(4k)−6k=133(3k) - 2(4k) - 6k = 133(3k)−2(4k)−6k=13
9k−8k−6k=139k - 8k - 6k = 139k−8k−6k=13
−5k=13-5k = 13−5k=13
k=−135k = -\frac{13}{5}k=−513​

Giờ chúng ta thay giá trị của kkk vào các biểu thức để tìm xxx, yyy, và zzz:

x=3k=3(−135)=−395x = 3k = 3\left(-\frac{13}{5}\right) = -\frac{39}{5}x=3k=3(−513​)=−539​

y=4k=4(−135)=−525y = 4k = 4\left(-\frac{13}{5}\right) = -\frac{52}{5}y=4k=4(−513​)=−552​

z=6k=6(−135)=−785z = 6k = 6\left(-\frac{13}{5}\right) = -\frac{78}{5}z=6k=6(−513​)=−578​

Kết quả phần b:
x=−395,y=−525,z=−785x = -\frac{39}{5}, \quad y = -\frac{52}{5}, \quad z = -\frac{78}{5}x=−539​,y=−552​,z=−578​

c.
Được cho:

2x=3y=5z=k2x = 3y = 5z = k2x=3y=5z=k

Từ đó có:

x=k2,y=k3,z=k5x = \frac{k}{2}, \quad y = \frac{k}{3}, \quad z = \frac{k}{5}x=2k​,y=3k​,z=5k​

Và có phương trình:

x+y−z=95x + y - z = 95x+y−z=95

Thay các biểu thức vào phương trình:

k2+k3−k5=95\frac{k}{2} + \frac{k}{3} - \frac{k}{5} = 952k​+3k​−5k​=95

Tìm mẫu số chung là 30:

15k30+10k30−6k30=95\frac{15k}{30} + \frac{10k}{30} - \frac{6k}{30} = 953015k​+3010k​−306k​=95

19k30=95\frac{19k}{30} = 953019k​=95

Giải cho kkk:

19k=285019k = 285019k=2850
k=150k = 150k=150

Thay kkk vào các biểu thức để tìm xxx, yyy, và zzz:

x=k2=1502=75x = \frac{k}{2} = \frac{150}{2} = 75x=2k​=2150​=75

y=k3=1503=50y = \frac{k}{3} = \frac{150}{3} = 50y=3k​=3150​=50

z=k5=1505=30z = \frac{k}{5} = \frac{150}{5} = 30z=5k​=5150​=30

Kết quả phần c:
x=75,y=50,z=30x = 75, \quad y = 50, \quad z = 30x=75,y=50,z=30

Tóm lại:

Phần a: x=6,y=8,z=10x = 6, y = 8, z = 10x=6,y=8,z=10
Phần b: x=−395,y=−525,z=−785x = -\frac{39}{5}, y = -\frac{52}{5}, z = -\frac{78}{5}x=−539​,y=−552​,z=−578​
Phần c: x=75,y=50,z=30x = 75, y = 50, z = 30x=75,y=50,z=30