Ta có $A'C' = a\sqrt{2}$ và $AD = a$.

Trong tam giác $A'C'D$, ta có $A'D = a$, $C'D = a$, $A'C' = a\sqrt{2}$.

Tam giác $A'C'D$ là tam giác vuông cân tại $D$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $A'C'$ và $AD$.

Xét tam giác $ADA'$, ta có $AD = a$, $AA' = a$, $A'D = a\sqrt{2}$.

Góc giữa hai đường thẳng $A'C'$ và $AD$ là góc giữa $A'C'$ và hình chiếu của $A'C'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$, đó là $AC$.

Ta có $\angle A'AD = 45^\circ$.

Trong tam giác $ACC'$, $AC = a\sqrt{2}$, $CC' = a$, $A'C' = a\sqrt{3}$.

$\cos \angle CAC' = \frac{AC^2 + AC'^2 - CC'^2}{2 AC \cdot AC'} = \frac{2a^2 + 3a^2 - a^2}{2 a\sqrt{2} a\sqrt{3}} = \frac{4a^2}{2a^2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\angle CAC' = \arccos \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 35.26^\circ$

Góc giữa $A'C'$ và $AD$ là $45^\circ$.

Xét tam giác $ADD'$. $AD = a$, $AD' = a\sqrt{2}$, $DD' = a$.

Góc giữa $A'C'$ và $AD$ là $\angle A'DA = 45^\circ$.

Trong hình lập phương, $A'C' \parallel AC$.

Góc giữa $A'C'$ và $AD$ bằng góc giữa $AC$ và $AD$, bằng $45^\circ$.